Faça o mapeamento do conjunto de pontos representado pela região definida por Re(z) <= 0. e -pi < Im(z) <= pi quando submetido a f(z).
Assuma f(z) = e^z

Passo 1

Vamos mapear os números complexos que têm a parte real e a parte imaginária usando a função . Para isso, precisamos entender como a função exponencial age sobre os números complexos.

Passo 2

Primeiro, escrevemos na forma , onde e . Assim, as condições do problema são e .

Passo 3

A função exponencial de um número complexo é dada por:
Aqui, é o módulo de e é o argumento (ângulo) de .

Passo 4

Como , o módulo varia de até . Isso significa que os valores de estarão todos dentro de um círculo de raio 1 no plano complexo.

Passo 5

O argumento está entre e , cobrindo todos os ângulos possíveis em torno do círculo complexo, sem repetir o ângulo .

Passo 6

Portanto, ao aplicar na região definida por e , obtemos todos os números complexos dentro do círculo unitário no plano complexo.

Resposta

O conjunto de pontos é mapeado para o disco unitário no plano complexo, ou seja, todos os números complexos com .

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Expressar A, B e C em termos de x e y, sendo que:
A = arg(e^(i(z + z_bar))) B = |e^(z(z - 1))| C = overline(overline(i e^(z)) + 1)
Mostre que a função u(x, y) = 4xy^3 - 4x^3y + x é harmônica em um domínio D adequado. Em seguida obtenha uma função harmônica v(x, y) de modo que f(z) = u(x, y) + i v(x, y) seja uma função analítica em D e que satisfaça a condição f(2i) = -1 + 5i. Identifique a parte real e a imaginária de f(z).
Para as séries de potências abaixo, determine os domínios de convergência correspondentes: sumn=1^infty (x-2)^nn cdot(n+1)
Determine as constantes a, b de modo que f(z) = 3(x - i) - y(1 - i b) + (5 + i a x) seja analítica.