Faça o mapeamento do conjunto de pontos representado pela região definida por . e quando submetido a .
Assuma
Passo 1
Vamos mapear os números complexos que têm a parte real e a parte imaginária usando a função . Para isso, precisamos entender como a função exponencial age sobre os números complexos.
Passo 2
Primeiro, escrevemos na forma , onde e . Assim, as condições do problema são e .
Passo 3
A função exponencial de um número complexo é dada por:
Aqui, é o módulo de e é o argumento (ângulo) de .
Passo 4
Como , o módulo varia de até . Isso significa que os valores de estarão todos dentro de um círculo de raio 1 no plano complexo.
Passo 5
O argumento está entre e , cobrindo todos os ângulos possíveis em torno do círculo complexo, sem repetir o ângulo .
Passo 6
Portanto, ao aplicar na região definida por e , obtemos todos os números complexos dentro do círculo unitário no plano complexo.
Resposta
O conjunto de pontos é mapeado para o disco unitário no plano complexo, ou seja, todos os números complexos com .