Mostre que a função u(x, y) = 4xy^3 - 4x^3y + x é harmônica em um domínio D adequado. Em seguida obtenha uma função harmônica v(x, y) de modo que f(z) = u(x, y) + i v(x, y) seja uma função analítica em D e que satisfaça a condição f(2i) = -1 + 5i. Identifique a parte real e a imaginária de f(z).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a função é harmônica em um domínio adequado. Depois, vamos encontrar uma função harmônica tal que seja analítica nesse domínio e que satisfaça . Pra isso, vamos precisar entender o que é uma função harmônica e como aplicar as Equações de Cauchy-Riemann para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função harmônica. Uma função é harmônica se ela satisfaz a equação de Laplace:
Então, vamos calcular as segundas derivadas parciais de em relação a e .

Passo 3

Calculando as derivadas de :
Primeira derivada em relação a :
Segunda derivada em relação a :
Primeira derivada em relação a :
Segunda derivada em relação a :

Passo 4

Agora, somamos as segundas derivadas:
Como a soma é zero, isso confirma que é uma função harmônica.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a função harmônica tal que seja analítica. Para isso, usamos as Equações de Cauchy-Riemann:
Já calculamos e .

Passo 6

Integrando em relação a :
Aqui, é uma função de integração que depende apenas de .

Passo 7

Agora, usamos a segunda Equação de Cauchy-Riemann:
Calculando a partir da expressão de :
Igualando as duas expressões:
Isso implica que:

Passo 8

Integrando em relação a :
Onde é uma constante. Para simplificar, podemos considerar .

Passo 9

Portanto, a função é:

Passo 10

Agora, temos :

Passo 11

Para encontrar a constante de integração, usamos a condição . Aqui, significa que e . Substituindo esses valores:
Então,
Mas queremos que . Isso significa que precisamos ajustar subtraindo 13 para que :

Passo 12

Finalmente, a função analítica que satisfaz todas as condições é:

Resposta

A parte real de é e a parte imaginária é . Portanto,

Exercícios relacionados

Investigue o caráter das seguintes séries: sumn=1^infty (-1)^n+1 n4 n-3
Compare os mapeamentos do conjunto de pontos representado pela região definida por Re(z) <= 0 . e - pi / 4 < Im(z) <= pi / 2 quando submetido a transformação realizada pelas funçöes fa(z) = e^z + 1 e f(b(z)) = i * Im[e^z + 1]
Expressar A, B e C em termos de x e y, sendo que:
A = arg(e^(i(z + z_bar))) B = |e^(z(z - 1))| C = overline(overline(i e^(z)) + 1)
Faça o mapeamento do conjunto de pontos representado pela região definida por Re(z) <= 0. e -pi < Im(z) <= pi quando submetido a f(z).
Assuma f(z) = e^z