Mostre que a função é harmônica em um domínio adequado. Em seguida obtenha uma função harmônica de modo que seja uma função analítica em D e que satisfaça a condição . Identifique a parte real e a imaginária de .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a função é harmônica em um domínio adequado. Depois, vamos encontrar uma função harmônica tal que seja analítica nesse domínio e que satisfaça . Pra isso, vamos precisar entender o que é uma função harmônica e como aplicar as Equações de Cauchy-Riemann para encontrar .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função harmônica. Uma função é harmônica se ela satisfaz a equação de Laplace:
Então, vamos calcular as segundas derivadas parciais de em relação a e .
Passo 3
Calculando as derivadas de :
Primeira derivada em relação a :
Segunda derivada em relação a :
Primeira derivada em relação a :
Segunda derivada em relação a :
Passo 4
Agora, somamos as segundas derivadas:
Como a soma é zero, isso confirma que é uma função harmônica.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a função harmônica tal que seja analítica. Para isso, usamos as Equações de Cauchy-Riemann:
Já calculamos e .
Passo 6
Integrando em relação a :
Aqui, é uma função de integração que depende apenas de .
Passo 7
Agora, usamos a segunda Equação de Cauchy-Riemann:
Calculando a partir da expressão de :
Igualando as duas expressões:
Isso implica que:
Passo 8
Integrando em relação a :
Onde é uma constante. Para simplificar, podemos considerar .
Passo 9
Portanto, a função é:
Passo 10
Agora, temos :
Passo 11
Para encontrar a constante de integração, usamos a condição . Aqui, significa que e . Substituindo esses valores:
Então,
Mas queremos que . Isso significa que precisamos ajustar subtraindo 13 para que :
Passo 12
Finalmente, a função analítica que satisfaz todas as condições é:
Resposta
A parte real de é e a parte imaginária é . Portanto,