Para as séries de potências abaixo, determine os domínios de convergência correspondentes:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar o domínio de convergência da série de potências
. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a descobrir para quais valores de
a série converge.
Passo 2
Primeiro, aplicamos o Teste da Razão. Esse teste diz que, para uma série
, calculamos o limite
. Se
, a série converge; se
, diverge; e se
, o teste não conclui nada.
Passo 3
Aqui,
an+1an = (x-2)^n+1(n+1) cdot (n+2) cdot n cdot (n+1)(x-2)^n = (x-2) cdot nn+2 . Vamos calcular
:
Passo 4
Agora, calculamos o limite
L = limn to infty | (x-2) cdot nn+2 | = |x-2| cdot limn to infty nn+2 = |x-2| cdot 1 = |x-2| :
Passo 5
Para que a série convirja, precisamos que
|x-2| < 1 :
Isso significa que
está no intervalo:
Passo 6
Precisamos verificar os extremos
sumn=1^infty (1-2)^nn cdot (n+1) = sumn=1^infty (-1)^nn cdot (n+1) e
sumn=1^infty (3-2)^nn cdot (n+1) = sumn=1^infty 1n cdot (n+1) .
Quando
:
A série alternada
converge pela Teste da Alternância de Sinais.
Quando
:
A série
é uma série telescópica que converge.
Resposta
O domínio de convergência é
.
Exercícios relacionados
Faça o mapeamento do conjunto de pontos representado pela região definida por
Re(z) <= 0 . e
-pi < Im(z) <= pi quando submetido a
f(z) .
Assumaf(z) = e^z
Assuma
Expressar A, B e C em termos de
x e
y , sendo que:
A = arg(e^(i(z + z_bar))) B = |e^(z(z - 1))| C = overline(overline(i e^(z)) + 1)
Determine as constantes
a, b de modo que
f(z) = 3(x - i) - y(1 - i b) + (5 + i a x) seja analítica.
Represente
f(z) = e^(z^2) na forma
f(z) = u(x, y) + i * v(x, y) . Obtenha a regra de derivação utilizando a regra da cadeia e as equações de Cauchy Riemann