Faça a mesma estimativa, porém usando splines quadráticas e cúbicas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para fazer uma estimativa usando splines quadráticas e cúbicas, igualzinho ao que fizemos antes. Splines são funções polinomiais que ajudam a aproximar ou interpolar dados de maneira suave. Para resolver isso, vamos precisar entender como construir splines quadráticas e cúbicas e aplicar esses conceitos aos nossos dados.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre splines quadráticas. Um spline quadrático é um polinômio de grau 2 que passa por certos pontos chamados nós. A ideia é que entre cada par de nós, a curva é definida por um polinômio diferente, mas que todas as partes se conectam suavemente.
Passo 3
Para construir um spline quadrático, seguimos estes passos:
- Dividir o intervalo dos dados em segmentos menores, determinando os nós.
- Definir um polinômio de segundo grau para cada segmento. Ou seja, para cada intervalo
, temos: - Garantir que as funções se conectem suavemente nos nós, ou seja, que a função e sua primeira derivada sejam contínuas.
Passo 4
Agora, vamos falar sobre splines c��bicas. Diferente dos quadráticos, os splines cúbicos usam polinômios de grau 3, permitindo uma maior flexibilidade e suavidade na aproximação dos dados.
Passo 5
Para construir um spline cúbico, fazemos o seguinte:
- Dividir o intervalo dos dados em segmentos menores, determinando os nós.
- Definir um polinômio de terceiro grau para cada segmento. Para cada intervalo
, temos: - Garantir a continuidade da função e de suas primeiras e segundas derivadas nos nós, o que torna a transição entre os segmentos muito lisa.
Passo 6
Após definir os splines quadráticos e cúbicos, aplicamos esses polinômios aos nossos dados. Isso envolve resolver um sistema de equações para encontrar os coeficientes
,
,
(e
para cúbicos) que satisfazem as condições de continuidade e passam pelos pontos dos nós.
Resposta
Assim, ao utilizar splines quadráticas e cúbicas, conseguimos uma estimativa suave e precisa dos dados, adaptando a curva de acordo com a flexibilidade desejada. Os splines cúbicos geralmente proporcionam uma aproximação mais suave devido ao grau maior dos polinômios, sendo frequentemente preferidos em aplicações que exigem alta precisão.