Faça a mesma estimativa, porém usando splines quadráticas e cúbicas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para fazer uma estimativa usando splines quadráticas e cúbicas, igualzinho ao que fizemos antes. Splines são funções polinomiais que ajudam a aproximar ou interpolar dados de maneira suave. Para resolver isso, vamos precisar entender como construir splines quadráticas e cúbicas e aplicar esses conceitos aos nossos dados.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre splines quadráticas. Um spline quadrático é um polinômio de grau 2 que passa por certos pontos chamados nós. A ideia é que entre cada par de nós, a curva é definida por um polinômio diferente, mas que todas as partes se conectam suavemente.

Passo 3

Para construir um spline quadrático, seguimos estes passos:
  1. Dividir o intervalo dos dados em segmentos menores, determinando os nós.
  2. Definir um polinômio de segundo grau para cada segmento. Ou seja, para cada intervalo , temos:
  3. Garantir que as funções se conectem suavemente nos nós, ou seja, que a função e sua primeira derivada sejam contínuas.

Passo 4

Agora, vamos falar sobre splines c��bicas. Diferente dos quadráticos, os splines cúbicos usam polinômios de grau 3, permitindo uma maior flexibilidade e suavidade na aproximação dos dados.

Passo 5

Para construir um spline cúbico, fazemos o seguinte:
  1. Dividir o intervalo dos dados em segmentos menores, determinando os nós.
  2. Definir um polinômio de terceiro grau para cada segmento. Para cada intervalo , temos:
  3. Garantir a continuidade da função e de suas primeiras e segundas derivadas nos nós, o que torna a transição entre os segmentos muito lisa.

Passo 6

Após definir os splines quadráticos e cúbicos, aplicamos esses polinômios aos nossos dados. Isso envolve resolver um sistema de equações para encontrar os coeficientes , , (e para cúbicos) que satisfazem as condições de continuidade e passam pelos pontos dos nós.

Resposta

Assim, ao utilizar splines quadráticas e cúbicas, conseguimos uma estimativa suave e precisa dos dados, adaptando a curva de acordo com a flexibilidade desejada. Os splines cúbicos geralmente proporcionam uma aproximação mais suave devido ao grau maior dos polinômios, sendo frequentemente preferidos em aplicações que exigem alta precisão.

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