Faça restrições no domínio e/ou contradomínio das funções trigonométricas abaixo para que se tornem bijetoras. Neste caso, determine a inversa de cada função e esboce no mesmo plano coordenado o gráfico da função e da sua inversa.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente tornar a função bijetora. Isso significa que a função precisa ser tanto injetora (cada elemento do domínio vai para um único no contradomínio) quanto sobrejetora (cobre todo o contradomínio). Para fazer isso, vamos precisar restringir o domínio e/ou o contradomínio da função trigonométrica . Depois, a gente vai encontrar a função inversa dessa função restrita e desenhar os gráficos de ambas no mesmo plano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função . Ela é definida como o inverso do seno, ou seja, . O domínio dessa função original é
, o que significa todos os números reais exceto os múltiplos de
, onde o seno é zero e a função não está definida.
Passo 3
Agora, para que a função seja injetora, ela precisa passar no teste da linha horizontal, ou seja, cada valor de deve corresponder a apenas um valor de
. A função é periódica com período
, então vamos restringir o domínio a um intervalo onde a função seja estritamente crescente ou decrescente, garantindo assim que não se repitam valores.
Passo 4
Vamos escolher o intervalo
para o domínio. Nesse intervalo, é sempre positiva e decrescente, o que garante que a função seja injetora nesse intervalo. Com isso, conseguimos também que a função seja sobrejetora, pois cobre todos os valores reais positivos.
Passo 5
Com o domínio restrito a
e o contradomínio a
(números reais positivos), a função se torna bijetora. Agora, vamos encontrar a inversa dessa função.
Passo 6
Para encontrar a inversa, trocamos
por
e
por
na equação da função original:
Sabemos que , então:
Agora, aplicando o arco seno:
Portanto, a função inversa é:
Passo 7
Agora, vamos esboçar os gráficos da função restrita a
e de sua inversa no mesmo plano coordenado. Imagine que o gráfico da começa em
quando
se aproxima de
e decresce até
quando
se aproxima de
. Já o gráfico da inversa será uma curva que começa em e se aproxima de
conforme
aumenta.
Resposta
Restringindo o domínio de a
e o contradomínio a
, a função se torna bijetora. A função inversa é . Os gráficos de
e
são traçados no mesmo plano coordenado, mostrando a relação inversa entre eles.