Faça restrições no domínio e/ou contradomínio das funções trigonométricas abaixo para que se tornem bijetoras. Neste caso, determine a inversa de cada função e esboce no mesmo plano coordenado o gráfico da função e da sua inversa. f: R - {k pi, k em Z} -> R, f(x) = cosec(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente tornar a função bijetora. Isso significa que a função precisa ser tanto injetora (cada elemento do domínio vai para um único no contradomínio) quanto sobrejetora (cobre todo o contradomínio). Para fazer isso, vamos precisar restringir o domínio e/ou o contradomínio da função trigonométrica . Depois, a gente vai encontrar a função inversa dessa função restrita e desenhar os gráficos de ambas no mesmo plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função . Ela é definida como o inverso do seno, ou seja, . O domínio dessa função original é , o que significa todos os números reais exceto os múltiplos de , onde o seno é zero e a função não está definida.

Passo 3

Agora, para que a função seja injetora, ela precisa passar no teste da linha horizontal, ou seja, cada valor de deve corresponder a apenas um valor de . A função é periódica com período , então vamos restringir o domínio a um intervalo onde a função seja estritamente crescente ou decrescente, garantindo assim que não se repitam valores.

Passo 4

Vamos escolher o intervalo para o domínio. Nesse intervalo, é sempre positiva e decrescente, o que garante que a função seja injetora nesse intervalo. Com isso, conseguimos também que a função seja sobrejetora, pois cobre todos os valores reais positivos.

Passo 5

Com o domínio restrito a e o contradomínio a (números reais positivos), a função se torna bijetora. Agora, vamos encontrar a inversa dessa função.

Passo 6

Para encontrar a inversa, trocamos por e por na equação da função original:
Sabemos que , então:
Agora, aplicando o arco seno:
Portanto, a função inversa é:

Passo 7

Agora, vamos esboçar os gráficos da função restrita a e de sua inversa no mesmo plano coordenado. Imagine que o gráfico da começa em quando se aproxima de e decresce até quando se aproxima de . Já o gráfico da inversa será uma curva que começa em e se aproxima de conforme aumenta.

Resposta

Restringindo o domínio de a e o contradomínio a , a função se torna bijetora. A função inversa é . Os gráficos de e são traçados no mesmo plano coordenado, mostrando a relação inversa entre eles.

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