Faça os seguintes itens:
b) Prove que
.
b) Prove que
Passo 1
Resumo do Enunciado e Conceitos Necessários
Vamos provar que a interseção dos interiores de dois conjuntos
e
é igual ao interior da interseção desses conjuntos, ou seja:
Para resolver isso, precisamos entender o que é o interior de um conjunto. O interior de um conjunto
, denotado por
, é o maior conjunto aberto que está completamente contido em
. Além disso, vamos usar propriedades de conjuntos e da topologia que lidam com abertos e interseções.
Passo 2
Primeira Inclusão:
Vamos começar mostrando que qualquer ponto que pertence tanto a
quanto a
também pertence a
.
- Seja
. - Isso significa que
está no interior de e no interior de . - Então, existem vizinhanças abertas
e de tais que e . - Considerando a interseção dessas vizinhanças
, que também é uma vizinhança aberta de . - Como
, temos que existe uma vizinhança aberta de contida em . - Portanto,
.
Passo 3
Segunda Inclusão:
Agora, vamos mostrar que qualquer ponto que pertence ao interior da interseção
também pertence aos interiores de
e de
.
- Seja
. - Isso significa que existe uma vizinhança aberta
de tal que . - Como
, então e . - Portanto,
está no interior de e no interior de . - Assim,
.
Resposta
Com as duas inclusões demonstradas, concluímos que: