Faça os seguintes itens:
b) Prove que Int(X) ∩ Int(Y) = Int(X ∩ Y).

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conceitos Necessários
Vamos provar que a interseção dos interiores de dois conjuntos e é igual ao interior da interseção desses conjuntos, ou seja:
Para resolver isso, precisamos entender o que é o interior de um conjunto. O interior de um conjunto , denotado por , é o maior conjunto aberto que está completamente contido em . Além disso, vamos usar propriedades de conjuntos e da topologia que lidam com abertos e interseções.

Passo 2

Primeira Inclusão:
Vamos começar mostrando que qualquer ponto que pertence tanto a quanto a também pertence a .
  • Seja .
  • Isso significa que está no interior de e no interior de .
  • Então, existem vizinhanças abertas e de tais que e .
  • Considerando a interseção dessas vizinhanças , que também é uma vizinhança aberta de .
  • Como , temos que existe uma vizinhança aberta de contida em .
  • Portanto, .

Passo 3

Segunda Inclusão:
Agora, vamos mostrar que qualquer ponto que pertence ao interior da interseção também pertence aos interiores de e de .
  • Seja .
  • Isso significa que existe uma vizinhança aberta de tal que .
  • Como , então e .
  • Portanto, está no interior de e no interior de .
  • Assim, .

Resposta

Com as duas inclusões demonstradas, concluímos que:

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