Faça uma substituição trigonométrica para calcular as seguintes integrais:
integral raizx^2-25x^4 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral raizx^2-25x^4 , dx usando substituição trigonométrica. A matéria que vamos usar aqui é o cálculo integral, especificamente técnicas de substituição trigonométrica para integrar funções que envolvem raízes quadradas de expressões quadráticas. Para isso, vamos precisar lembrar de algumas identidades trigonométricas e entender como fazer a substituição adequada para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, observamos que dentro da raiz temos x^2 - 25. Isso se parece com a identidade trigonométrica 1 - cos^2theta = sin^2theta, mas adaptada para uma expressão do tipo x^2 - a^2. Para facilitar a integração, escolhemos uma substituição que transforme essa expressão em algo mais simples. Aqui, usamos a substituição trigonométrica x = 5sectheta.

Passo 3

Com x = 5sectheta, precisamos encontrar dx. Derivando ambos os lados em relação a theta, temos:
dx = 5secthetatantheta, dtheta
Agora, substituímos x e dx na integral original.

Passo 4

Substituindo x = 5sectheta e dx = 5secthetatantheta, dtheta na integral, obtemos:
integral raiz(5sectheta)^2 - 25(5sectheta)^4 cdot 5secthetatantheta, dtheta
Simplificando o que está dentro da raiz:
raiz25sec^2theta - 25 = raiz25(sec^2theta - 1) = raiz25tan^2theta = 5tantheta

Passo 5

Substituindo de volta na integral, temos:
integral 5tantheta625sec^4theta cdot 5secthetatantheta, dtheta
Simplificando os coeficientes e as potências de sectheta:
Sabemos que integral 25tan^2theta625sec^3theta, dtheta = integral tan^2theta25sec^3theta, dtheta , então substituímos:

Passo 6

Agora, integramos termo a termo:
125 ( integral costheta, dtheta - integral cos^3theta, dtheta )
A integral de costheta é sintheta. Para a integral de cos^3theta, usamos a identidade cos^3theta = costheta(1 - sin^2theta) e fazemos uma substituição u = sintheta:
integral cos^3theta, dtheta = integral costheta (1 - sin^2theta), dtheta = integral (1 - u^2), du = u - u^33 = sintheta - sin^3theta3

Passo 7

Substituindo de volta na expressão principal:
125 ( sintheta - ( sintheta - sin^3theta3 ) ) = 125 ( sin^3theta3 ) = sin^3theta75

Passo 8

Agora, precisamos voltar para a variável original, x. Lembrando que x = 5sectheta, podemos desenhar um triângulo retângulo onde:
sectheta = x5 Rightarrow costheta = 5x
E sintheta pode ser encontrado usando:
sintheta = raiz1 - cos^2theta = raiz1 - (5x)^2 = raizx^2 - 25x
Então:
sin^3theta = ( raizx^2 - 25x )^3 = (x^2 - 25)^3/2x^3

Resposta

Portanto, a integral resolvida é:
integral raizx^2-25x^4 , dx = (x^2 - 25)^3/275x^3 + C
onde C é a constante de integração.

Exercícios relacionados