Faça uma substituição trigonométrica para calcular as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando substituição trigonométrica. A matéria que vamos usar aqui é o cálculo integral, especificamente técnicas de substituição trigonométrica para integrar funções que envolvem raízes quadradas de expressões quadráticas. Para isso, vamos precisar lembrar de algumas identidades trigonométricas e entender como fazer a substituição adequada para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, observamos que dentro da raiz temos
. Isso se parece com a identidade trigonométrica
, mas adaptada para uma expressão do tipo
. Para facilitar a integração, escolhemos uma substituição que transforme essa expressão em algo mais simples. Aqui, usamos a substituição trigonométrica
.
Passo 3
Com
, precisamos encontrar
. Derivando ambos os lados em relação a
, temos:
Agora, substituímos
e
na integral original.
Passo 4
Substituindo
e
na integral, obtemos:
Simplificando o que está dentro da raiz:
Passo 5
Substituindo de volta na integral, temos:
Simplificando os coeficientes e as potências de
:
Sabemos que
, então substituímos:
Passo 6
Agora, integramos termo a termo:
A integral de
é
. Para a integral de
, usamos a identidade
e fazemos uma substituição
:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão principal:
Passo 8
Agora, precisamos voltar para a variável original,
. Lembrando que
, podemos desenhar um triângulo retângulo onde:
E
pode ser encontrado usando:
Então:
Resposta
Portanto, a integral resolvida é:
onde
é a constante de integração.