Um líquido se move através de um cano com diâmetro
e uma vazão de
. Quando o diâmetro do cano é reduzido para
enquanto a pressão se mantêm constante, qual é o novo valor da vazão
em termos de
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um líquido que está passando por um cano com diâmetro $ d $ e uma vazão inicial $ Q_{1} $. A gente precisa descobrir qual será a nova vazão $ Q_{2} $ quando o diâmetro do cano é reduzido para $ \frac{d}{4} $, mantendo a pressão constante. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Poiseuille, que relaciona a vazão de um líquido com o diâmetro do cano, a pressão e a viscosidade do líquido.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Lei de Poiseuille, que diz:
Onde:
- $ Q $ é a vazão,
- $ \Delta P $ é a diferença de pressão,
- $ r $ é o raio do cano,
- $ \eta $ é a viscosidade do líquido,
- $ L $ é o comprimento do cano.
Como a pressão $ \Delta P $, a viscosidade $ \eta $ e o comprimento $ L $ do cano não mudam, a vazão $ Q $ depende diretamente do raio $ r $ elevado à quarta potência.
Passo 3
Agora, vamos ver como o raio muda quando o diâmetro é reduzido. O diâmetro original é $ d $, então o raio original é $ r = \frac{d}{2} $. Quando o diâmetro passa a ser $ \frac{d}{4} $, o novo raio será:
Então, o novo raio $ r_{2} $ é $ \frac{1}{4} $ do raio original $ r $.
Passo 4
Como a vazão $ Q $ é proporcional ao raio à quarta potência, podemos relacionar as duas vazões assim:
Passo 5
Isolando $ Q_{2} $, temos:
Resposta
A nova vazão é $ Q_{2} = \frac{Q_{1}}{256} $.