Um líquido se move através de um cano com diâmetro d e uma vazão de Q1. Quando o diâmetro do cano é reduzido para d / 4 enquanto a pressão se mantêm constante, qual é o novo valor da vazão Q2 em termos de Q1 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um líquido que está passando por um cano com diâmetro $ d $ e uma vazão inicial $ Q_{1} $. A gente precisa descobrir qual será a nova vazão $ Q_{2} $ quando o diâmetro do cano é reduzido para $ \frac{d}{4} $, mantendo a pressão constante. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Poiseuille, que relaciona a vazão de um líquido com o diâmetro do cano, a pressão e a viscosidade do líquido.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei de Poiseuille, que diz:
Q = pi De
Onde:
  • $ Q $ é a vazão,
  • $ \Delta P $ é a diferença de pressão,
  • $ r $ é o raio do cano,
  • $ \eta $ é a viscosidade do líquido,
  • $ L $ é o comprimento do cano.
Como a pressão $ \Delta P $, a viscosidade $ \eta $ e o comprimento $ L $ do cano não mudam, a vazão $ Q $ depende diretamente do raio $ r $ elevado à quarta potência.

Passo 3

Agora, vamos ver como o raio muda quando o diâmetro é reduzido. O diâmetro original é $ d $, então o raio original é $ r = \frac{d}{2} $. Quando o diâmetro passa a ser $ \frac{d}{4} $, o novo raio será:
d
Então, o novo raio $ r_{2} $ é $ \frac{1}{4} $ do raio original $ r $.

Passo 4

Como a vazão $ Q $ é proporcional ao raio à quarta potência, podemos relacionar as duas vazões assim:
Q

Passo 5

Isolando $ Q_{2} $, temos:
Q2

Resposta

A nova vazão é $ Q_{2} = \frac{Q_{1}}{256} $.

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