Façamos com f(t)=\sum_{n=1}^{\infty} \sin n t, \operatorname{com} \omega^{2} \neq n^{2} também c_{1}=0 e c_{2}=0. (a) Monte o problema; (b) encontre a solução geral; © determine os coeficientes da solução do PVI. (d) O que acontece se, para algum n \in \mathbb{N}, \omega \neq n ?

Passo 1

Oi! Vamos dar uma olhada nesse exercício juntos. O enunciado fala sobre resolver um problema envolvendo uma função com algumas condições específicas, como , e os coeficientes e . A matéria aqui é sobre equações diferenciais, especialmente sobre encontrar soluções gerais e particulares para problemas de valor inicial (PVI). Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais lineares e entender como os coeficientes são determinados a partir das condições iniciais.

Passo 2

(a) Monte o problema
Primeiro, vamos montar o problema. Geralmente, em equações diferenciais, temos uma equação da forma:
Onde:
  • é a segunda derivada de em relação a .
  • é uma constante.
  • é a função dada, que no caso é uma série infinita de senos.
Com as condições iniciais e , estamos dizendo que, no tempo inicial, a posição e a velocidade são zero.

Passo 3

(b) Encontre a solução geral
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução da equação homogênea ( ) e da solução particular ( ):
Para a equação homogênea , a solução é:
Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa. Como é uma soma de senos, assumimos que também será uma soma de termos envolvendo senos:
Substituindo na equação diferencial e resolvendo para os coeficientes , obtemos a solução particular.

Passo 4

© Determine os coeficientes da solução do PVI
Com as condições iniciais e , substituímos na solução geral para encontrar e :
  1. Derivando :
Aplicando :
Os coeficientes são determinados ao substituir na equação diferencial original e igualar os coeficientes dos termos de .

Passo 5

(d) O que acontece se, para algum , ?
Se para algum , teremos uma ressonância na equação diferencial. Isso significa que a solução particular não pode ser simplesmente porque isso resultaria em termos indeterminados. Nesse caso, precisamos modificar a forma da solução particular para incluir um termo , garantindo que a solução seja válida e não trave a equação.

Resposta

Montamos o problema e encontramos que, para resolver a equação diferencial dada com e , a solução geral é a soma da solução homogênea e particular. Com as condições iniciais e , determinamos os coeficientes da solução do PVI. Além disso, se para algum , ocorre ressonância, exigindo uma modificação na forma da solução particular para manter a validade da solução.

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Comecemos com f(t)=\sin n t, n \in \mathbb{N}, com \omega^{2} \neq n^{2} também c_{1}=0 e c_{2}=0. (a) Monte o problema; (b) Como é um equação diferencial linear com coeficientes constantes não homogênea, use o método da Seção 3.5, y(t)=y_{h}(t)+y_{p}(t) e encontre a solução geral; © determine os coeficientes da solução do PVI. (d) O que acontece se \omega \neq n ?