Façamos com f(t)=\sum_{n=1}^{\infty} \sin n t, \operatorname{com} \omega^{2} \neq n^{2} também c_{1}=0 e c_{2}=0. (a) Monte o problema; (b) encontre a solução geral; © determine os coeficientes da solução do PVI. (d) O que acontece se, para algum n \in \mathbb{N}, \omega \neq n ?
Passo 1
Oi! Vamos dar uma olhada nesse exercício juntos. O enunciado fala sobre resolver um problema envolvendo uma função
com algumas condições específicas, como
, e os coeficientes
e
. A matéria aqui é sobre equações diferenciais, especialmente sobre encontrar soluções gerais e particulares para problemas de valor inicial (PVI). Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais lineares e entender como os coeficientes são determinados a partir das condições iniciais.
Passo 2
(a) Monte o problema
Primeiro, vamos montar o problema. Geralmente, em equações diferenciais, temos uma equação da forma:
Onde:
-
é a segunda derivada de em relação a . -
é uma constante. -
é a função dada, que no caso é uma série infinita de senos.
Com as condições iniciais
e
, estamos dizendo que, no tempo inicial, a posição e a velocidade são zero.
Passo 3
(b) Encontre a solução geral
A solução geral da equação diferencial
é a soma da solução da equação homogênea (
) e da solução particular (
):
Para a equação homogênea
, a solução é:
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa. Como
é uma soma de senos, assumimos que
também será uma soma de termos envolvendo senos:
Substituindo
na equação diferencial e resolvendo para os coeficientes
, obtemos a solução particular.
Passo 4
© Determine os coeficientes da solução do PVI
Com as condições iniciais
e
, substituímos na solução geral para encontrar
e
:
-
- Derivando
:
Aplicando
:
Os coeficientes
são determinados ao substituir
na equação diferencial original e igualar os coeficientes dos termos de
.
Passo 5
(d) O que acontece se, para algum
,
?
Se
para algum
, teremos uma ressonância na equação diferencial. Isso significa que a solução particular
não pode ser simplesmente
porque isso resultaria em termos indeterminados. Nesse caso, precisamos modificar a forma da solução particular para incluir um termo
, garantindo que a solução seja válida e não trave a equação.
Resposta
Montamos o problema e encontramos que, para resolver a equação diferencial dada com
e
, a solução geral é a soma da solução homogênea e particular. Com as condições iniciais
e
, determinamos os coeficientes da solução do PVI. Além disso, se
para algum
, ocorre ressonância, exigindo uma modificação na forma da solução particular para manter a validade da solução.
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