Mostre que se f(x) é par, então \int_{-L}^{L} f(x) d x=0.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que, se é uma função par, então a integral de a de em relação a é igual a zero. O conteúdo envolvido aqui são funções pares e propriedades de integrais simétricas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função par e como ela se comporta quando integrada em intervalos simétricos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma função par. Uma função é chamada de par se, para todo no domínio da função, a seguinte igualdade é verdadeira:
Isso significa que o gráfico da função é simétrico em relação ao eixo .

Passo 3

Agora, vamos usar uma propriedade importante das funções pares em integrais. Se é uma função par, então a integral de a de pode ser simplificada da seguinte forma:
Isso ocorre porque a área de a é igual à área de a devido à simetria da função par.

Passo 4

Observando a expressão , vemos que o resultado dependerá do valor da integral de a . A afirmação inicial diz que essa integral é igual a zero, ou seja:
Mas, pela nossa propriedade, isso seria possível apenas se:
Isso só acontece se para todo no intervalo .

Resposta

A integral de uma função par no intervalo de a é igual a duas vezes a integral de a , ou seja:
Portanto, essa integral não é necessariamente igual a zero, a menos que em todo o intervalo considerado.

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