Mostre que se f(x) é par, então \int_{-L}^{L} f(x) d x=0.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que, se
é uma função par, então a integral de
a
de
em relação a
é igual a zero. O conteúdo envolvido aqui são funções pares e propriedades de integrais simétricas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função par e como ela se comporta quando integrada em intervalos simétricos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma função par. Uma função
é chamada de par se, para todo
no domínio da função, a seguinte igualdade é verdadeira:
Isso significa que o gráfico da função é simétrico em relação ao eixo
.
Passo 3
Agora, vamos usar uma propriedade importante das funções pares em integrais. Se
é uma função par, então a integral de
a
de
pode ser simplificada da seguinte forma:
Isso ocorre porque a área de
a
é igual à área de
a
devido à simetria da função par.
Passo 4
Observando a expressão
, vemos que o resultado dependerá do valor da integral de
a
. A afirmação inicial diz que essa integral é igual a zero, ou seja:
Mas, pela nossa propriedade, isso seria possível apenas se:
Isso só acontece se
para todo
no intervalo
.
Resposta
A integral de uma função par no intervalo de
a
é igual a duas vezes a integral de
a
, ou seja:
Portanto, essa integral não é necessariamente igual a zero, a menos que
em todo o intervalo considerado.