Use a série de Fourier para f(x) abaixo para provar a identidade indicada via a identidade do exercício 18. Dica: f está entre os exemplos dos capítulos.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para usar a série de Fourier da função
no intervalo
para provar a identidade
. Para isso, vamos precisar entender o que é a série de Fourier e como aplicá-la nessa função específica.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a série de Fourier da função
no intervalo
(vamos usar
para simplificar). A série de Fourier de uma função par ou ímpar pode ser composta por senos e cossenos. Como
é uma função ímpar (isto é,
), a série de Fourier terá apenas termos de seno.
A fórmula geral da série de Fourier para uma função ímpar é:
onde os coeficientes
são dados por:
Passo 3
Substituindo
e
na fórmula dos coeficientes:
Vamos calcular essa integral usando a técnica de integração por partes, onde:
-
e - Assim,
e
Aplicando a integração por partes:
Avaliando de 0 a
:
Então, o coeficiente
fica:
Passo 4
Agora, a série de Fourier da função
é:
Passo 5
Para provar a identidade
, vamos avaliar a série de Fourier em um ponto específico. Vamos escolher
:
Sabemos que
para todo inteiro
, o que nos não ajuda diretamente. Então, vamos considerar a derivada da série de Fourier.
Passo 6
Derivando ambos os lados da série de Fourier:
Simplificando:
Passo 7
Avaliando novamente em
:
Sabemos que
. Contudo, essa série é conhecida como a série alternada que converge para
:
Portanto:
Isso confirma a convergência, mas para obter a identidade desejada, precisamos considerar a energia da série, ou seja, somar os quadrados dos coeficientes.
Passo 8
Considerando a energia total da série de Fourier, temos:
Calculando o lado esquerdo:
E o lado direito:
Igualando os dois lados:
Portanto:
Resposta
A identidade
foi comprovada usando a série de Fourier da função
no intervalo
.