Use a série de Fourier para f(x) abaixo para provar a identidade indicada via a identidade do exercício 18. Dica: f está entre os exemplos dos capítulos.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para usar a série de Fourier da função
no intervalo
para provar a identidade
. Para isso, vamos precisar entender o que é a série de Fourier e como aplicá-la nessa função específica.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a série de Fourier da função
no intervalo
(vamos usar
para simplificar). A série de Fourier de uma função par ou ímpar pode ser composta por senos e cossenos. Como
é uma função ímpar (isto é,
), a série de Fourier terá apenas termos de seno.
A fórmula geral da série de Fourier para uma função ímpar é:
onde os coeficientes
são dados por:
Passo 3
Substituindo
e
na fórmula dos coeficientes:
Vamos calcular essa integral usando a técnica de integração por partes, onde:
-
e - Assim,
e
Aplicando a integração por partes:
Avaliando de 0 a
:
Então, o coeficiente
fica:
Passo 4
Agora, a série de Fourier da função
é:
Passo 5
Para provar a identidade
, vamos avaliar a série de Fourier em um ponto específico. Vamos escolher
:
Sabemos que
para todo inteiro
, o que nos não ajuda diretamente. Então, vamos considerar a derivada da série de Fourier.
Passo 6
Derivando ambos os lados da série de Fourier:
Simplificando:
Passo 7
Avaliando novamente em
:
Sabemos que
. Contudo, essa série é conhecida como a série alternada que converge para
:
Portanto:
Isso confirma a convergência, mas para obter a identidade desejada, precisamos considerar a energia da série, ou seja, somar os quadrados dos coeficientes.
Passo 8
Considerando a energia total da série de Fourier, temos:
Calculando o lado esquerdo:
E o lado direito:
Igualando os dois lados:
Portanto:
Resposta
A identidade
foi comprovada usando a série de Fourier da função
no intervalo
.
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</body></html>
<html><head></head><body><div>Supondo que f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos \frac{n \pi x}{L}+b_{n} \sin \frac{n \pi x}{L}\right), mostre a Identidade de Parseval para Séries de Fourier a seguir:</div>
<div><span class="math-block ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG” display=“true”><svg style=“vertical-align: -2.819ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“37.616ex” height=“6.373ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -1571 16626.1 2816.9”><title>y = sen(x^2)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mfrac”><g data-mml-node=“mn” transform=“translate(310.5,676)”><path data-c=“31” d=“M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z”></path></g><g data-mml-node=“mi” transform=“translate(220,-686)”><path data-c=“1D43F” d=“M228 637Q194 637 192 641Q191 643 191 649Q191 673 202 682Q204 683 217 683Q271 680 344 680Q485 680 506 683H518Q524 677 524 674T522 656Q517 641 513 637H475Q406 636 394 628Q387 624 380 600T313 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</body></html>
Façamos com f(t)=\sum_{n=1}^{\infty} \sin n t, \operatorname{com} \omega^{2} \neq n^{2} também c_{1}=0 e c_{2}=0. (a) Monte o problema; (b) encontre a solução geral; © determine os coeficientes da solução do PVI. (d) O que acontece se, para algum n \in \mathbb{N}, \omega \neq n ?
Mostre que se f(x) é par, então \int_{-L}^{L} f(x) d x=0.