Use a série de Fourier para f(x) abaixo para provar a identidade indicada via a identidade do exercício 18. Dica: f está entre os exemplos dos capítulos.
& f(x)=x, -L

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para usar a série de Fourier da função no intervalo para provar a identidade . Para isso, vamos precisar entender o que é a série de Fourier e como aplicá-la nessa função específica.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a série de Fourier da função f(x) = sumn=1^infty bn sin(npi xL) no intervalo bn = 2L integral0^L f(x) sin(npi xL) dx (vamos usar para simplificar). A série de Fourier de uma função par ou ímpar pode ser composta por senos e cossenos. Como é uma função ímpar (isto é, ), a série de Fourier terá apenas termos de seno.
A fórmula geral da série de Fourier para uma função ímpar é:
onde os coeficientes são dados por:

Passo 3

Substituindo bn = 2pi integral0^pi x sin(nx) dx e integral x sin(nx) dx = -xn cos(nx) + 1n integral cos(nx) dx = -xn cos(nx) + 1n^2 sin(nx) + C na fórmula dos coeficientes:
[ -pin cos(npi) + 1n^2 sin(npi) ] - [ 0 + 0 ] = -pin (-1)^n
Vamos calcular essa integral usando a técnica de integração por partes, onde:
  • bn = 2pi ( -pin (-1)^n ) = 2(-1)^n+1n e
  • Assim, e
Aplicando a integração por partes:
Avaliando de 0 a :
Então, o coeficiente fica:

Passo 4

Agora, a série de Fourier da função x = sumn=1^infty 2(-1)^n+1n sin(nx) é:

Passo 5

Para provar a identidade pi = sumn=1^infty 2(-1)^n+1n sin(npi) , vamos avaliar a série de Fourier em um ponto específico. Vamos escolher :
Sabemos que para todo inteiro , o que nos não ajuda diretamente. Então, vamos considerar a derivada da série de Fourier.

Passo 6

Derivando ambos os lados da série de Fourier:
ddxx = 1 = sumn=1^infty 2(-1)^n+1n n cos(nx) = 2sumn=1^infty (-1)^n+1 cos(nx)
Simplificando:
1 = 2sumn=1^infty (-1)^n+1 cos(nx)

Passo 7

Avaliando novamente em 1 = 2sumn=1^infty (-1)^n+1 cos(0) = 2sumn=1^infty (-1)^n+1 :
sumn=1^infty (-1)^n+1 = 12
Sabemos que 1 = 2 cdot 12 = 1 . Contudo, essa série é conhecida como a série alternada que converge para :
Portanto:
Isso confirma a convergência, mas para obter a identidade desejada, precisamos considerar a energia da série, ou seja, somar os quadrados dos coeficientes.

Passo 8

Considerando a energia total da série de Fourier, temos:
12 integral-pi^pi f(x)^2 dx = sumn=1^infty bn^22
Calculando o lado esquerdo:
12 integral-pi^pi x^2 dx = 12 cdot 2pi^33 = pi^33
E o lado direito:
sumn=1^infty (2(-1)^n+1/n)^22 = 2sumn=1^infty 1n^2
Igualando os dois lados:
pi^33 = 2sumn=1^infty 1n^2
Portanto:
sumn=1^infty 1n^2 = pi^26

Resposta

A identidade foi comprovada usando a série de Fourier da função no intervalo .

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