Comecemos com f(t)=\sin n t, n \in \mathbb{N}, com \omega^{2} \neq n^{2} também c_{1}=0 e c_{2}=0. (a) Monte o problema; (b) Como é um equação diferencial linear com coeficientes constantes não homogênea, use o método da Seção 3.5, y(t)=y_{h}(t)+y_{p}(t) e encontre a solução geral; © determine os coeficientes da solução do PVI. (d) O que acontece se \omega \neq n ?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. A gente tem uma função , onde é um número natural, e . Também temos as condições iniciais e . O conteúdo aqui é equações diferenciais lineares com coeficientes constantes não homogêneas. Pra resolver isso, vamos precisar usar o método que divide a solução geral em parte homogênea ( ) e particular ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos montar o problema completo. A equação diferencial dada é uma equação de segunda ordem não homogênea:
com as condições iniciais:
Aqui, representa a segunda derivada de em relação a , e e são constantes.

Passo 3

Agora, vamos resolver a parte homogênea da equação, que é:
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação é:
onde e são constantes que vão ser determinadas pelas condições iniciais.

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação não homogênea:
Como o lado direito da equação é um seno, a gente tenta uma solução particular da forma:
Vamos derivar e substituir na equação para encontrar os coeficientes e .

Passo 5

Calculando as derivadas de :
Substituindo na equação original:
Agrupando os termos:
Isso nos leva ao sistema:
Como , podemos resolver para e :
Então, a solução particular é:

Passo 6

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e .

Passo 7

Aplicando :
Agora, derivando :
Aplicando :

Passo 8

Substituindo e na solução geral:

Resposta

A solução geral da equação diferencial com as condições iniciais dadas é:

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