Comecemos com f(t)=\sin n t, n \in \mathbb{N}, com \omega^{2} \neq n^{2} também c_{1}=0 e c_{2}=0. (a) Monte o problema; (b) Como é um equação diferencial linear com coeficientes constantes não homogênea, use o método da Seção 3.5, y(t)=y_{h}(t)+y_{p}(t) e encontre a solução geral; © determine os coeficientes da solução do PVI. (d) O que acontece se \omega \neq n ?
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. A gente tem uma função
, onde
é um número natural, e
. Também temos as condições iniciais
e
. O conteúdo aqui é equações diferenciais lineares com coeficientes constantes não homogêneas. Pra resolver isso, vamos precisar usar o método que divide a solução geral em parte homogênea (
) e particular (
).
Passo 2
Primeiro, vamos montar o problema completo. A equação diferencial dada é uma equação de segunda ordem não homogênea:
com as condições iniciais:
Aqui,
representa a segunda derivada de
em relação a
, e
e
são constantes.
Passo 3
Agora, vamos resolver a parte homogênea da equação, que é:
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação é:
onde
e
são constantes que vão ser determinadas pelas condições iniciais.
Passo 4
Em seguida, precisamos encontrar uma solução particular (
) para a equação não homogênea:
Como o lado direito da equação é um seno, a gente tenta uma solução particular da forma:
Vamos derivar
e substituir na equação para encontrar os coeficientes
e
.
Passo 5
Calculando as derivadas de
:
Substituindo na equação original:
Agrupando os termos:
Isso nos leva ao sistema:
Como
, podemos resolver para
e
:
Então, a solução particular é:
Passo 6
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Passo 7
Aplicando
:
Agora, derivando
:
Aplicando
:
Passo 8
Substituindo
e
na solução geral:
Resposta
A solução geral da equação diferencial com as condições iniciais dadas é: