A fada Sininho, personagem do famoso filme de Walt Disney, Peter Pan, baseado no livro “Peter and Wendy” de J. M. Barrie, está voando e descrevendo três quartos de uma circunferência de raio 4m, do ponto P até o ponto Q, no sentido horário, em 2 s. Pede-se determinar, nesse deslocamento:
a) a variação de espaço
b) o vetor deslocamento
c) a velocidade escalar média
d) a velocidade vetorial média
a) a variação de espaço
b) o vetor deslocamento
c) a velocidade escalar média
d) a velocidade vetorial média
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: A fada Sininho está voando em uma circunferência de raio 4 metros e descreve três quartos de círculo, do ponto P até o ponto Q, no sentido horário, em 2 segundos. Vamos resolver as seguintes partes:
a) Variação de espaço
b) Vetor deslocamento
c) Velocidade escalar média
d) Velocidade vetorial média
b) Vetor deslocamento
c) Velocidade escalar média
d) Velocidade vetorial média
Para resolver isso, precisamos entender conceitos de circunferência, deslocamento vetorial, e velocidades médias. Vamos passo a passo!
Passo 2
a) Variação de espaço
A variação de espaço, ou distância percorrida, é o comprimento do arco que Sininho percorreu. Como ela descreveu três quartos de circunferência, usamos a fórmula do comprimento do arco:
Onde:
- $ s $ é o comprimento do arco,
- $ \theta $ é o ângulo em radianos,
- $ r $ é o raio.
Três quartos de circunferência correspondem a um ângulo de:
Então:
Passo 3
b) Vetor deslocamento
O vetor deslocamento é a linha reta do ponto inicial P ao ponto final Q. Como Sininho se moveu três quartos de círculo no sentido horário, o deslocamento forma um ângulo de 270 graus (ou $ \frac{3\pi}{2} $ radianos) com a posição inicial.
Usamos a fórmula do deslocamento em círculo:
Substituindo os valores:
Passo 4
c) Velocidade escalar média
A velocidade escalar média é a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto:
Já calculamos $ s = 6\pi $ metros e $ t = 2 $ segundos:
Passo 5
d) Velocidade vetorial média
A velocidade vetorial média é a razão entre o vetor deslocamento e o tempo gasto. Usamos o módulo do deslocamento $ d = 4\sqrt{2} $ metros:
Resposta
a) A variação de espaço é $ 6\pi $ metros.
b) O vetor deslocamento tem módulo $ 4\sqrt{2} $ metros.
c) A velocidade escalar média é $ 3\pi $ m/s.
d) A velocidade vetorial média é $ 2\sqrt{2} $ m/s.
b) O vetor deslocamento tem módulo $ 4\sqrt{2} $ metros.
c) A velocidade escalar média é $ 3\pi $ m/s.
d) A velocidade vetorial média é $ 2\sqrt{2} $ m/s.