Falhas no teclado do computador podem ser atribuídas a defeitos elétricos ou defeitos mecânicos. Um estabelecimento de assistência técnica possui 25 teclados com defeito, 6 dos quais têm defeitos elétricos e 19 têm defeitos mecânicos.
De quantas formas uma amostra de 5 teclados pode ser selecionada de forma a exatamente dois terem um defeito elétrico?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre defeitos em teclados de computador, especificamente defeitos elétricos e mecânicos. A gente precisa descobrir de quantas maneiras podemos selecionar 5 teclados, garantindo que exatamente 2 deles tenham defeito elétrico. Para resolver isso, vamos usar um pouco de combinatória, que é a área da matemática que estuda as diferentes formas de combinar elementos em grupos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar quantos teclados têm defeito elétrico e quantos têm defeito mecânico. Temos 6 teclados com defeito elétrico e 19 com defeito mecânico, totalizando 25 teclados defeituosos.

Passo 3

Queremos selecionar 5 teclados no total, sendo que exatamente 2 devem ter defeito elétrico. Isso significa que os outros 3 teclados devem ter defeito mecânico.

Passo 4

Vamos calcular de quantas maneiras podemos escolher 2 teclados com defeito elétrico dos 6 disponíveis. Para isso, usamos a combinação, que em matemática é representada por:
C(n, k) = n!k!(n - k)!
Aqui, $ n = 6 $ (total de teclados elétricos) e $ k = 2 $ (quantos queremos escolher).

Passo 5

Aplicando a fórmula:
C(6, 2) = 6!2!(6 - 2)! = 6 times 52 times 1 = 15
Então, há 15 maneiras de escolher 2 teclados com defeito elétrico.

Passo 6

Agora, vamos calcular de quantas maneiras podemos escolher 3 teclados com defeito mecânico dos 19 disponíveis. Usamos a mesma fórmula de combinação:
C(19, 3) = 19!3!(19 - 3)! = 19 times 18 times 173 times 2 times 1 = 969
Portanto, há 969 maneiras de escolher 3 teclados com defeito mecânico.

Passo 7

Para encontrar o número total de combinações onde exatamente 2 teclados têm defeito elétrico e 3 têm defeito mecânico, multiplicamos as duas quantidades que calculamos:
15 times 969 = 14.535

Resposta

Existem 14.535 maneiras de selecionar uma amostra de 5 teclados de forma que exatamente dois tenham defeito elétrico.

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