Para famílias com 3 filhos, onde as probabilidades dos filhos ser meninos e meninas são iguais.
(b) Encontre a função de distribuição acumulada para a variável aleatória
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma família com 3 filhos, e a probabilidade de cada filho ser menino ou menina é igual, ou seja, 50% para cada. O conteúdo que vamos usar aqui é de probabilidade, mais especificamente, função de distribuição acumulada (CDF) para uma variável aleatória discreta. Vamos precisar saber como calcular probabilidades para variáveis discretas e como somar essas probabilidades para encontrar a função de distribuição acumulada.
Passo 2
Vamos definir a variável aleatória como o número de meninos na família. Como há 3 filhos, pode assumir os valores 0, 1, 2 ou 3.
Passo 3
Para encontrar a função de distribuição acumulada , precisamos calcular a probabilidade de ser menor ou igual a um certo valor . Ou seja, .
Passo 4
A distribuição de segue uma distribuição binomial, já que cada filho tem duas possibilidades (menino ou menina) com probabilidades iguais. A fórmula da probabilidade para cada valor de é:
onde é o número de combinações de 3 filhos escolhendo meninos.
Passo 5
Vamos calcular para cada valor de :
Para :
Para :
Para :
Para :
Passo 6
Agora, vamos montar a função de distribuição acumulada somando as probabilidades até o valor :
Para :
Para :
Para :
Para :
Para :
Resposta
A função de distribuição acumulada para a variável aleatória é: