Para famílias com 3 filhos, onde as probabilidades dos filhos ser meninos e meninas são iguais.
(b) Encontre a função de distribuição acumulada para a variável aleatória

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma família com 3 filhos, e a probabilidade de cada filho ser menino ou menina é igual, ou seja, 50% para cada. O conteúdo que vamos usar aqui é de probabilidade, mais especificamente, função de distribuição acumulada (CDF) para uma variável aleatória discreta. Vamos precisar saber como calcular probabilidades para variáveis discretas e como somar essas probabilidades para encontrar a função de distribuição acumulada.

Passo 2

Vamos definir a variável aleatória como o número de meninos na família. Como há 3 filhos, pode assumir os valores 0, 1, 2 ou 3.

Passo 3

Para encontrar a função de distribuição acumulada , precisamos calcular a probabilidade de ser menor ou igual a um certo valor . Ou seja, .

Passo 4

A distribuição de segue uma distribuição binomial, já que cada filho tem duas possibilidades (menino ou menina) com probabilidades iguais. A fórmula da probabilidade para cada valor de é:
onde é o número de combinações de 3 filhos escolhendo meninos.

Passo 5

Vamos calcular para cada valor de :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 6

Agora, vamos montar a função de distribuição acumulada somando as probabilidades até o valor :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Resposta

A função de distribuição acumulada para a variável aleatória é:

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Para famílias com 3 filhos, onde as probabilidades dos filhos ser meninos e meninas são iguais.
(a) Encontre a função da probabilidade de .
Suponha que um par de dados honestos vai ser lançado e considere a variável aleatória

: soma dos pontos

(b) Encontre a função de distribuição acumulada para a variável aleatória
Uma variável aleatória tem a função densidade , onde .
(a) Encontre o valor da constante .
Uma variável aleatória tem a função densidade , onde .
(b) Encontre a probabilidade de que esteja entre e 1 .