Para famílias com 3 filhos, onde as probabilidades dos filhos ser meninos e meninas são iguais.
(b) Encontre a função de distribuição acumulada FX(x) para a variável aleatória X

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma família com 3 filhos, e a probabilidade de cada filho ser menino ou menina é igual, ou seja, 50% para cada. O conteúdo que vamos usar aqui é de probabilidade, mais especificamente, função de distribuição acumulada (CDF) para uma variável aleatória discreta. Vamos precisar saber como calcular probabilidades para variáveis discretas e como somar essas probabilidades para encontrar a função de distribuição acumulada.

Passo 2

Vamos definir a variável aleatória como o número de meninos na família. Como há 3 filhos, pode assumir os valores 0, 1, 2 ou 3.

Passo 3

Para encontrar a função de distribuição acumulada , precisamos calcular a probabilidade de ser menor ou igual a um certo valor . Ou seja, .

Passo 4

A distribuição de P(X = k) = binom3k (12)^k (12)^3-k = binom3k (12)^3 segue uma distribuição binomial, já que cada filho tem duas possibilidades (menino ou menina) com probabilidades iguais. A fórmula da probabilidade para cada valor de é:
onde é o número de combinações de 3 filhos escolhendo meninos.

Passo 5

Vamos calcular P(X = 0) = binom30 (12)^3 = 1 times 18 = 18 para cada valor de P(X = 1) = binom31 (12)^3 = 3 times 18 = 38 :
  • Para P(X = 2) = binom32 (12)^3 = 3 times 18 = 38 :
P(X = 3) = binom33 (12)^3 = 1 times 18 = 18
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 6

Agora, vamos montar a função de distribuição acumulada FX(x) = 0 somando as probabilidades até o valor FX(x) = P(X <= 0) = 18 :
  • Para FX(x) = P(X <= 1) = 18 + 38 = 48 = 12 :
FX(x) = P(X <= 2) = 18 + 38 + 38 = 78
  • Para FX(x) = P(X <= 3) = 18 + 38 + 38 + 18 = 1 :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Resposta

A função de distribuição acumulada FX(x) = 0, & se x < 0 18, & se 0 <= x < 1 12, & se 1 <= x < 2 78, & se 2 <= x < 3 1, & se x >= 3 para a variável aleatória é:

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