Para famílias com 3 filhos, onde as probabilidades dos filhos ser meninos e meninas são iguais.
(b) Encontre a função de distribuição acumulada
para a variável aleatória
(b) Encontre a função de distribuição acumulada
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma família com 3 filhos, e a probabilidade de cada filho ser menino ou menina é igual, ou seja, 50% para cada. O conteúdo que vamos usar aqui é de probabilidade, mais especificamente, função de distribuição acumulada (CDF) para uma variável aleatória discreta. Vamos precisar saber como calcular probabilidades para variáveis discretas e como somar essas probabilidades para encontrar a função de distribuição acumulada.
Passo 2
Vamos definir a variável aleatória
como o número de meninos na família. Como há 3 filhos,
pode assumir os valores 0, 1, 2 ou 3.
Passo 3
Para encontrar a função de distribuição acumulada
, precisamos calcular a probabilidade de
ser menor ou igual a um certo valor
. Ou seja,
.
Passo 4
A distribuição de
segue uma distribuição binomial, já que cada filho tem duas possibilidades (menino ou menina) com probabilidades iguais. A fórmula da probabilidade para cada valor de
é:
onde
é o número de combinações de 3 filhos escolhendo
meninos.
Passo 5
Vamos calcular
para cada valor de
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Agora, vamos montar a função de distribuição acumulada
somando as probabilidades até o valor
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Resposta
A função de distribuição acumulada
para a variável aleatória
é: