Uma variável aleatória X tem a função densidade f(x)=cx^2+1, onde x in R.
(a) Encontre o valor da constante c.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado diz que temos uma variável aleatória com função densidade , onde pertence a todo o conjunto dos números reais. Nosso objetivo aqui é encontrar o valor da constante . Para isso, vamos utilizar o conceito de função densidade de probabilidade, que precisa integrar para 1 em todo o espaço.

Passo 2

Primeiro, lembrando que toda função densidade de probabilidade deve satisfazer a condição:
integral-infty^+infty f(x) , dx = 1
No nosso caso, isso fica:
integral-infty^+infty cx^2+1 , dx = 1

Passo 3

Vamos calcular essa integral. Sabemos que:
integral 1x^2+1 , dx = arctan(x) + C
Portanto, aplicando os limites de integração:
integral-infty^+infty cx^2+1 , dx = c [ arctan(x) ]-infty^+infty

Passo 4

Sabemos que:
limx to +infty arctan(x) = pi2 e limx to -infty arctan(x) = -pi2
Portanto:
c ( pi2 - (-pi2) ) = c cdot pi

Passo 5

Igualando a integral a 1:
c cdot pi = 1
Resolvendo para c = 1pi :

Resposta

O valor da constante é .

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