Uma variável aleatória X tem a função densidade f(x)=cx^2+1, onde x in R.
(b) Encontre a probabilidade de que X^2 esteja entre 13 e 1 .

Passo 1

Então, a gente tem um exercício sobre probabilidade envolvendo uma variável aleatória . A função densidade de é dada por para todo número real . Nosso objetivo aqui é encontrar a probabilidade de estar entre e . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções de densidade de probabilidade e como calcular probabilidades usando integrais.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o valor de integral-infty^infty cx^2 + 1 , dx = 1 para que c cdot pi = 1 implies c = 1pi seja uma função densidade válida. Isso significa que a integral de em todo o eixo real deve ser igual a 1. Vamos calcular isso:
A integral de de a é conhecida e vale . Então:

Passo 3

Agora que sabemos que f(x) = 1pi (x^2 + 1) , nossa função densidade fica:

Passo 4

Queremos encontrar a probabilidade de que 13 <= X^2 <= 1 esteja entre raiz13 <= |X| <= 1 e -1 <= X <= -1raiz3 ou 1raiz3 <= X <= 1 . Isso significa:
Vamos resolver essa desigualdade para . Tirando a raiz quadrada:
Isso nos dá:

Passo 5

Devido à simetria da função densidade em relação a zero, podemos calcular uma das duas probabilidades e multiplicar por 2. Vamos calcular P(1raiz3 <= X <= 1) = integral1raiz3^1 1pi (x^2 + 1) , dx :

Passo 6

Vamos calcular essa integral. Sabemos que:
integral 1x^2 + 1 , dx = arctan(x) + C
Aplicando os limites de integração:
integral1raiz3^1 1pi (x^2 + 1) , dx = 1pi [ arctan(1) - arctan(1raiz3) ]
Sabemos que:
arctan(1) = pi4 e arctan(1raiz3) = pi6
Então:
1pi ( pi4 - pi6 ) = 1pi ( pi12 ) = 112

Passo 7

Agora, lembrando da simetria, multiplicamos por 2:
P(13 <= X^2 <= 1) = 2 times 112 = 16

Resposta

A probabilidade de que esteja entre e é .

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