Uma variável aleatória
tem a função densidade
, onde
.
(b) Encontre a probabilidade de que
esteja entre
e 1 .
(b) Encontre a probabilidade de que
Passo 1
Então, a gente tem um exercício sobre probabilidade envolvendo uma variável aleatória
. A função densidade de
é dada por
para todo número real
. Nosso objetivo aqui é encontrar a probabilidade de
estar entre
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções de densidade de probabilidade e como calcular probabilidades usando integrais.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o valor de
para que
seja uma função densidade válida. Isso significa que a integral de
em todo o eixo real deve ser igual a 1. Vamos calcular isso:
A integral de
de
a
é conhecida e vale
. Então:
Passo 3
Agora que sabemos que
, nossa função densidade fica:
Passo 4
Queremos encontrar a probabilidade de que
esteja entre
e
. Isso significa:
Vamos resolver essa desigualdade para
. Tirando a raiz quadrada:
Isso nos dá:
Passo 5
Devido à simetria da função densidade em relação a zero, podemos calcular uma das duas probabilidades e multiplicar por 2. Vamos calcular
:
Passo 6
Vamos calcular essa integral. Sabemos que:
Aplicando os limites de integração:
Sabemos que:
Então:
Passo 7
Agora, lembrando da simetria, multiplicamos por 2:
Resposta
A probabilidade de que
esteja entre
e
é
.