Uma variável aleatória tem a função densidade , onde .
(b) Encontre a probabilidade de que esteja entre e 1 .

Passo 1

Então, a gente tem um exercício sobre probabilidade envolvendo uma variável aleatória . A função densidade de é dada por para todo número real . Nosso objetivo aqui é encontrar a probabilidade de estar entre e . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções de densidade de probabilidade e como calcular probabilidades usando integrais.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o valor de para que seja uma função densidade válida. Isso significa que a integral de em todo o eixo real deve ser igual a 1. Vamos calcular isso:
A integral de de a é conhecida e vale . Então:

Passo 3

Agora que sabemos que , nossa função densidade fica:

Passo 4

Queremos encontrar a probabilidade de que esteja entre e . Isso significa:
Vamos resolver essa desigualdade para . Tirando a raiz quadrada:
Isso nos dá:

Passo 5

Devido à simetria da função densidade em relação a zero, podemos calcular uma das duas probabilidades e multiplicar por 2. Vamos calcular :

Passo 6

Vamos calcular essa integral. Sabemos que:
Aplicando os limites de integração:
Sabemos que:
Então:

Passo 7

Agora, lembrando da simetria, multiplicamos por 2:

Resposta

A probabilidade de que esteja entre e é .

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Uma variável aleatória tem a função densidade , onde .
© Encontre a função de distribuição acumulada para a variável aleatória .
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(a) Calcule .
(b) Calcule o valor médio e a variância.