Suponha que um par de dados honestos vai ser lançado e considere a variável aleatória

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a soma dos pontos de dois dados justos. A gente vai trabalhar com probabilidade e distribuição acumulada. Para isso, precisamos entender como calcular as probabilidades dos diferentes resultados possíveis quando lançamos dois dados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que cada dado tem 6 faces, numeradas de 1 a 6. Quando lançamos dois dados, a soma dos pontos, que chamamos de X, pode variar de 2 (quando os dois mostram 1) até 12 (quando os dois mostram 6).

Passo 3

Para encontrar a função de distribuição acumulada FX(x), a gente precisa calcular a probabilidade de que a soma X seja menor ou igual a um certo valor x. Ou seja, FX(x) = P(X <= x).

Passo 4

Vamos calcular as probabilidades para cada valor possível de X:
  • X = 2: Só tem uma combinação possível (1+1). Então, P(X=2) = 136.
  • X = 3: Duas combinações (1+2, 2+1). Então, P(X=3) = 236.
  • X = 4: Três combinações (1+3, 2+2, 3+1). Então, P(X=4) = 336.
  • E assim por diante, até X = 12.

Passo 5

Agora, para encontrar FX(x), vamos somar as probabilidades de todos os valores de X que são menores ou iguais a x. Por exemplo:
  • Para x < 2: Não existe soma menor que 2, então FX(x) = 0.
  • Para 2 ≤ x < 3: Só consideramos X=2, então FX(x) = 136.
  • Para 3 ≤ x < 4: Consideramos X=2 e X=3, então FX(x) = 136 + 236 = 336.
  • Continuamos assim até x >= 12, onde FX(x) = 1.

Passo 6

Vamos organizar tudo isso em uma função por partes para facilitar:
FX(x) = 0 & se x < 2 136 & se 2 <= x < 3 336 & se 3 <= x < 4 636 & se 4 <= x < 5 1036 & se 5 <= x < 6 1536 & se 6 <= x < 7 2136 & se 7 <= x < 8 2636 & se 8 <= x < 9 3036 & se 9 <= x < 10 3336 & se 10 <= x < 11 3536 & se 11 <= x < 12 1 & se x >= 12

Resposta

A função de distribuição acumulada FX(x) para a soma dos pontos de dois dados justos é:
FX(x) = 0 & se x < 2 136 & se 2 <= x < 3 336 & se 3 <= x < 4 636 & se 4 <= x < 5 1036 & se 5 <= x < 6 1536 & se 6 <= x < 7 2136 & se 7 <= x < 8 2636 & se 8 <= x < 9 3036 & se 9 <= x < 10 3336 & se 10 <= x < 11 3536 & se 11 <= x < 12 1 & se x >= 12

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