Suponha que um par de dados honestos vai ser lançado e considere a variável aleatória
: soma dos pontos
(b) Encontre a função de distribuição acumulada para a variável aleatória
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a soma dos pontos de dois dados justos. A gente vai trabalhar com probabilidade e distribuição acumulada. Para isso, precisamos entender como calcular as probabilidades dos diferentes resultados possíveis quando lançamos dois dados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que cada dado tem 6 faces, numeradas de 1 a 6. Quando lançamos dois dados, a soma dos pontos, que chamamos de , pode variar de 2 (quando os dois mostram 1) até 12 (quando os dois mostram 6).
Passo 3
Para encontrar a função de distribuição acumulada , a gente precisa calcular a probabilidade de que a soma seja menor ou igual a um certo valor . Ou seja, .
Passo 4
Vamos calcular as probabilidades para cada valor possível de :
X = 2: Só tem uma combinação possível (1+1). Então, .
X = 3: Duas combinações (1+2, 2+1). Então, .
X = 4: Três combinações (1+3, 2+2, 3+1). Então, .
E assim por diante, até X = 12.
Passo 5
Agora, para encontrar , vamos somar as probabilidades de todos os valores de que são menores ou iguais a . Por exemplo:
Para x < 2: Não existe soma menor que 2, então .
Para 2 ≤ x < 3: Só consideramos , então .
Para 3 ≤ x < 4: Consideramos e , então .
Continuamos assim até , onde .
Passo 6
Vamos organizar tudo isso em uma função por partes para facilitar:
Resposta
A função de distribuição acumulada para a soma dos pontos de dois dados justos é: