Suponha que um par de dados honestos vai ser lançado e considere a variável aleatória

: soma dos pontos

(b) Encontre a função de distribuição acumulada para a variável aleatória

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a soma dos pontos de dois dados justos. A gente vai trabalhar com probabilidade e distribuição acumulada. Para isso, precisamos entender como calcular as probabilidades dos diferentes resultados possíveis quando lançamos dois dados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que cada dado tem 6 faces, numeradas de 1 a 6. Quando lançamos dois dados, a soma dos pontos, que chamamos de , pode variar de 2 (quando os dois mostram 1) até 12 (quando os dois mostram 6).

Passo 3

Para encontrar a função de distribuição acumulada , a gente precisa calcular a probabilidade de que a soma seja menor ou igual a um certo valor . Ou seja, .

Passo 4

Vamos calcular as probabilidades para cada valor possível de :
  • X = 2: Só tem uma combinação possível (1+1). Então, .
  • X = 3: Duas combinações (1+2, 2+1). Então, .
  • X = 4: Três combinações (1+3, 2+2, 3+1). Então, .
  • E assim por diante, até X = 12.

Passo 5

Agora, para encontrar , vamos somar as probabilidades de todos os valores de que são menores ou iguais a . Por exemplo:
  • Para x < 2: Não existe soma menor que 2, então .
  • Para 2 ≤ x < 3: Só consideramos , então .
  • Para 3 ≤ x < 4: Consideramos e , então .
  • Continuamos assim até , onde .

Passo 6

Vamos organizar tudo isso em uma função por partes para facilitar:

Resposta

A função de distribuição acumulada para a soma dos pontos de dois dados justos é:

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(b) sem reposição.
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(a) Encontre a função da probabilidade de .
Para famílias com 3 filhos, onde as probabilidades dos filhos ser meninos e meninas são iguais.
(b) Encontre a função de distribuição acumulada para a variável aleatória