Para famílias com 3 filhos, onde as probabilidades dos filhos ser meninos e meninas são iguais.
(a) Encontre a função da probabilidade de .
(b) Encontre a função de distribuç̧ão acumulada para a variável aleatória
© Faça um gráfico desta função de distribuição acumulada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma família com 3 filhos, e a chance de cada filho ser menino ou menina é a mesma, ou seja, 50% para cada. O que a gente vai precisar aqui é entender um pouco de probabilidade e como funciona a função de distribuição de probabilidade para variáveis aleatórias discretas. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos definir a variável aleatória . Nesse caso, representa o número de meninos em uma família com 3 filhos. Então, pode assumir os valores 0, 1, 2 ou 3.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a função de probabilidade de , ou seja, para cada valor possível de . Como cada filho tem 50% de chance de ser menino ou menina, podemos usar a fórmula da probabilidade binomial:
Onde é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos ter meninos em 3 filhos.

Passo 4

Vamos calcular para cada valor de :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 5

Agora que temos as probabilidades para cada valor de , podemos montar a função de probabilidade:

Passo 6

Vamos para a parte (b)! A função de distribuição acumulada, denotada por , nos mostra a probabilidade de ser menor ou igual a um certo valor. Então, vamos calcular para cada intervalo de :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 7

Por último, para a parte ©, a gente precisa fazer um gráfico da função de distribuição acumulada . Como não dá para desenhar aqui, vou te explicar como fazer:
  1. Eixo X: Coloque os valores de (0, 1, 2, 3).
  2. Eixo Y: Coloque as probabilidades acumuladas ( ).
  3. Pontos:
    • Em , .
    • Em , sobe para .
    • Em , sobe para .
    • Em , sobe para .
    • Em e além, fica em .
  4. Linhas: Faça linhas horizontais que conectam esses pontos, criando um gráfico em “degraus”.

Resposta

(a) A função de probabilidade de é:
(b) A função de distribuição acumulada é:
© O gráfico da função de distribuição acumulada é uma série de degraus que aumentam em cada valor de , conforme descrito no Passo 7.

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Suponha que um par de dados honestos vai ser lançado e considere a variável aleatória
(a) Obtenha a função da probabilidade de .
(b) Encontre a função de distribuição acumulada para a variável aleatória
© Faça um gráfico desta função de distribuição acumulada.
Uma urna contém 5 bolas de gude brancas e 3 bolas de gude pretas.
(1) Se 2 bolas de gude são extraídas ao acaso, e é o número de bolas de gude brancas, encontre a função de probabilidade de .
(a) com reposição;
(b) sem reposição.
(2) Se bolas de gude são extraídas ao acaso, e é o número de bolas de gude pretas, encontre a função de probabilidade de .
(a) com reposição;
(b) sem reposição.
A função de distribuição para uma variável aleatória é:
(a) Encontre a função densidade.
(b) Encontre a probabilidade de que .
© Encontre a probabilidade de que .
A função densidade de uma variável aleatória é:
á
(a) Encontre a função densidade para a variável aleatória .
(b) Encontre a função densidade para a variável aleatória .