Para famílias com 3 filhos, onde as probabilidades dos filhos ser meninos e meninas são iguais.
(a) Encontre a função da probabilidade de X.
(b) Encontre a função de distribuç̧ão acumulada FX(x) para a variável aleatória X
© Faça um gráfico desta função de distribuição acumulada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma família com 3 filhos, e a chance de cada filho ser menino ou menina é a mesma, ou seja, 50% para cada. O que a gente vai precisar aqui é entender um pouco de probabilidade e como funciona a função de distribuição de probabilidade para variáveis aleatórias discretas. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos definir a variável aleatória X. Nesse caso, X representa o número de meninos em uma família com 3 filhos. Então, X pode assumir os valores 0, 1, 2 ou 3.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a função de probabilidade de X, ou seja, P(X = x) para cada valor possível de x. Como cada filho tem 50% de chance de ser menino ou menina, podemos usar a fórmula da probabilidade binomial:
P(X = x) = binom3x (12)^x (12)^3-x = binom3x (12)^3 = binom3x 18
Onde binom3x é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos ter x meninos em 3 filhos.

Passo 4

Vamos calcular P(X = x) para cada valor de x:
  • Para x = 0:
P(X = 0) = binom30 18 = 1 times 18 = 18
  • Para x = 1:
P(X = 1) = binom31 18 = 3 times 18 = 38
  • Para x = 2:
P(X = 2) = binom32 18 = 3 times 18 = 38
  • Para x = 3:
P(X = 3) = binom33 18 = 1 times 18 = 18

Passo 5

Agora que temos as probabilidades para cada valor de X, podemos montar a função de probabilidade:
c|c X & P(X = x) hline 0 & 18 1 & 38 2 & 38 3 & 18

Passo 6

Vamos para a parte (b)! A função de distribuição acumulada, denotada por FX(x), nos mostra a probabilidade de X ser menor ou igual a um certo valor. Então, vamos calcular FX(x) para cada intervalo de x:
  • Para x < 0:
FX(x) = 0
  • Para 0 <= x < 1:
FX(x) = P(X <= 0) = 18
  • Para 1 <= x < 2:
FX(x) = P(X <= 1) = 18 + 38 = 48 = 12
  • Para 2 <= x < 3:
FX(x) = P(X <= 2) = 12 + 38 = 78
  • Para x >= 3:
FX(x) = P(X <= 3) = 1

Passo 7

Por último, para a parte ©, a gente precisa fazer um gráfico da função de distribuição acumulada FX(x). Como não dá para desenhar aqui, vou te explicar como fazer:
  1. Eixo X: Coloque os valores de x (0, 1, 2, 3).
  2. Eixo Y: Coloque as probabilidades acumuladas ( FX(x)).
  3. Pontos:
    • Em x < 0, FX(x) = 0.
    • Em 0, sobe para 1/8.
    • Em 1, sobe para 1/2.
    • Em 2, sobe para 7/8.
    • Em 3 e além, fica em 1.
  4. Linhas: Faça linhas horizontais que conectam esses pontos, criando um gráfico em “degraus”.

Resposta

(a) A função de probabilidade de X é:
c|c X & P(X = x) hline 0 & 18 1 & 38 2 & 38 3 & 18
(b) A função de distribuição acumulada FX(x) é:
FX(x) = 0 & para x < 0, 18 & para 0 <= x < 1, 12 & para 1 <= x < 2, 78 & para 2 <= x < 3, 1 & para x >= 3
© O gráfico da função de distribuição acumulada é uma série de degraus que aumentam em cada valor de x, conforme descrito no Passo 7.

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