Uma urna contém 5 bolas de gude brancas e 3 bolas de gude pretas.
(1) Se 2 bolas de gude são extraídas ao acaso, e
é o número de bolas de gude brancas, encontre a função de probabilidade de
.
(a) com reposição;
(b) sem reposição.
(2) Se
bolas de gude são extraídas ao acaso, e
é o número de bolas de gude pretas, encontre a função de probabilidade de
.
(a) com reposição;
(b) sem reposição.
(1) Se 2 bolas de gude são extraídas ao acaso, e
(a) com reposição;
(b) sem reposição.
(2) Se
(a) com reposição;
(b) sem reposição.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma urna com 5 bolas de gude brancas e 3 pretas. A gente vai trabalhar com probabilidade, especificamente com a função de probabilidade de uma variável aleatória. Precisamos descobrir quantas bolas brancas ou pretas saem quando tiramos algumas bolas, com ou sem reposição.
Passo 2
Vamos começar com a primeira parte: se tirarmos 2 bolas com reposição e
é o número de bolas brancas. Com reposição significa que, depois de tirar uma bola, a colocamos de volta na urna antes de tirar a próxima.
Passo 3
Para calcular a função de probabilidade de
, precisamos considerar todas as possibilidades de tirar bolas brancas e pretas. Como são 5 brancas e 3 pretas, temos um total de 8 bolas.
Passo 4
A probabilidade de tirar uma bola branca em um único saque é
e a de tirar uma preta é
.
Passo 5
Como tiramos 2 bolas com reposição, os eventos são independentes. Então, para
(nenhuma branca):
Passo 6
Para
(uma branca e uma preta, em qualquer ordem):
Passo 7
Para
(duas brancas):
Passo 8
Então, a função de probabilidade de
com reposição é:
Passo 9
Agora, vamos resolver a parte (b): sem reposição. Isso significa que, após tirar uma bola, ela não volta para a urna antes da próxima extração.
Passo 10
Para sem reposição, a probabilidade muda após cada extração porque o número total de bolas diminui.
Passo 11
Para
(nenhuma branca):
Passo 12
Para
(uma branca e uma preta, em qualquer ordem):
Passo 13
Para
(duas brancas):
Passo 14
Então, a função de probabilidade de
sem reposição é:
Resposta
A função de probabilidade de
, número de bolas brancas extraídas, é:
a) Com reposição:
b) Sem reposição:
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