Uma urna contém 5 bolas de gude brancas e 3 bolas de gude pretas.
(1) Se 2 bolas de gude são extraídas ao acaso, e X é o número de bolas de gude brancas, encontre a função de probabilidade de X.
(a) com reposição;
(b) sem reposição.
(2) Se n bolas de gude são extraídas ao acaso, e Y é o número de bolas de gude pretas, encontre a função de probabilidade de Y.
(a) com reposição;
(b) sem reposição.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma urna com 5 bolas de gude brancas e 3 pretas. A gente vai trabalhar com probabilidade, especificamente com a função de probabilidade de uma variável aleatória. Precisamos descobrir quantas bolas brancas ou pretas saem quando tiramos algumas bolas, com ou sem reposição.

Passo 2

Vamos começar com a primeira parte: se tirarmos 2 bolas com reposição e é o número de bolas brancas. Com reposição significa que, depois de tirar uma bola, a colocamos de volta na urna antes de tirar a próxima.

Passo 3

Para calcular a função de probabilidade de , precisamos considerar todas as possibilidades de tirar bolas brancas e pretas. Como são 5 brancas e 3 pretas, temos um total de 8 bolas.

Passo 4

A probabilidade de tirar uma bola branca em um único saque é e a de tirar uma preta é .

Passo 5

Como tiramos 2 bolas com reposição, os eventos são independentes. Então, para P(X=0) = (38) times (38) = 964 (nenhuma branca):

Passo 6

Para P(X=1) = 2 times (58) times (38) = 3064 (uma branca e uma preta, em qualquer ordem):

Passo 7

Para P(X=2) = (58) times (58) = 2564 (duas brancas):

Passo 8

Então, a função de probabilidade de P(X=0) = 964, P(X=1) = 3064, P(X=2) = 2564 com reposição é:

Passo 9

Agora, vamos resolver a parte (b): sem reposição. Isso significa que, após tirar uma bola, ela não volta para a urna antes da próxima extração.

Passo 10

Para sem reposição, a probabilidade muda após cada extração porque o número total de bolas diminui.

Passo 11

Para P(X=0) = 38 times 27 = 656 = 328 (nenhuma branca):

Passo 12

Para P(X=1) = (58 times 37) + (38 times 57) = 1556 + 1556 = 3056 = 1528 (uma branca e uma preta, em qualquer ordem):

Passo 13

Para P(X=2) = 58 times 47 = 2056 = 514 (duas brancas):

Passo 14

Então, a função de probabilidade de P(X=0) = 328, P(X=1) = 1528, P(X=2) = 514 sem reposição é:

Resposta

A função de probabilidade de P(X=0) = 964, P(X=1) = 3064, P(X=2) = 2564 , número de bolas brancas extraídas, é:
a) Com reposição:
P(X=0) = 328, P(X=1) = 1528, P(X=2) = 514
b) Sem reposição:

Exercícios relacionados