Uma urna contém 5 bolas de gude brancas e 3 bolas de gude pretas.
(1) Se 2 bolas de gude são extraídas ao acaso, e é o número de bolas de gude brancas, encontre a função de probabilidade de .
(a) com reposição;
(b) sem reposição.
(2) Se bolas de gude são extraídas ao acaso, e é o número de bolas de gude pretas, encontre a função de probabilidade de .
(a) com reposição;
(b) sem reposição.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma urna com 5 bolas de gude brancas e 3 pretas. A gente vai trabalhar com probabilidade, especificamente com a função de probabilidade de uma variável aleatória. Precisamos descobrir quantas bolas brancas ou pretas saem quando tiramos algumas bolas, com ou sem reposição.

Passo 2

Vamos começar com a primeira parte: se tirarmos 2 bolas com reposição e é o número de bolas brancas. Com reposição significa que, depois de tirar uma bola, a colocamos de volta na urna antes de tirar a próxima.

Passo 3

Para calcular a função de probabilidade de , precisamos considerar todas as possibilidades de tirar bolas brancas e pretas. Como são 5 brancas e 3 pretas, temos um total de 8 bolas.

Passo 4

A probabilidade de tirar uma bola branca em um único saque é e a de tirar uma preta é .

Passo 5

Como tiramos 2 bolas com reposição, os eventos são independentes. Então, para (nenhuma branca):

Passo 6

Para (uma branca e uma preta, em qualquer ordem):

Passo 7

Para (duas brancas):

Passo 8

Então, a função de probabilidade de com reposição é:

Passo 9

Agora, vamos resolver a parte (b): sem reposição. Isso significa que, após tirar uma bola, ela não volta para a urna antes da próxima extração.

Passo 10

Para sem reposição, a probabilidade muda após cada extração porque o número total de bolas diminui.

Passo 11

Para (nenhuma branca):

Passo 12

Para (uma branca e uma preta, em qualquer ordem):

Passo 13

Para (duas brancas):

Passo 14

Então, a função de probabilidade de sem reposição é:

Resposta

A função de probabilidade de , número de bolas brancas extraídas, é:
a) Com reposição:
b) Sem reposição:

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