Suponha que um par de dados honestos vai ser lançado e considere a variável aleatória
X : soma dos pontos
(a) Obtenha a função da probabilidade de X.
(b) Encontre a função de distribuição acumulada FX(x) para a variável aleatória X
© Faça um gráfico desta função de distribuição acumulada.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. Temos um par de dados justos sendo lançados, e a variável aleatória representa a soma dos pontos que aparecem nos dois dados. O que a gente precisa fazer aqui envolve conceitos de probabilidade, especificamente funções de probabilidade e funções de distribuição acumulada. Vamos resolver cada parte passo a passo para entender melhor.

Passo 2

Parte (a): Obter a função da probabilidade de P(X = k) = Número de combinações que resu.
Primeiro, vamos entender o que é uma função de probabilidade. Ela nos dá a chance de cada resultado possível da variável aleatória P(X=2) &= 136 P(X=3) &= 236 P(X=4) &= 336 P(X=5) &= 436 P(X=6) &= 536 P(X=7) &= 636 P(X=8) &= 536 P(X=9) &= 436 P(X=10) &= 336 P(X=11) &= 236 P(X=12) &= 136 . No caso de dois dados, a soma pode variar de 2 a 12.
Como os dados são justos, cada face tem a mesma probabilidade de aparecer. Vamos listar todas as combinações possíveis que resultam em cada soma:
  • Soma 2: (1,1) → 1 combinação
  • Soma 3: (1,2), (2,1) → 2 combinações
  • Soma 4: (1,3), (2,2), (3,1) → 3 combinações
  • Soma 5: (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) → 4 combinações
  • Soma 6: (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) → 5 combinações
  • Soma 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) → 6 combinações
  • Soma 8: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) → 5 combinações
  • Soma 9: (3,6), (4,5), (5,4), (6,3) → 4 combinações
  • Soma 10: (4,6), (5,5), (6,4) → 3 combinações
  • Soma 11: (5,6), (6,5) → 2 combinações
  • Soma 12: (6,6) → 1 combinação
No total, temos 36 combinações possíveis (6 faces no primeiro dado × 6 faces no segundo dado).
Agora, a função de probabilidade para cada soma é o número de combinações que resultam em dividido pelo total de combinações. Assim:
úçõ
Então, a função de probabilidade de fica:

Passo 3

Parte (b): Encontrar a função de distribuição acumulada FX(x) = P(X <= x) para FX(2) &= P(X <= 2) = P(X=2) = 136 FX(3) &= P(X <= 3) = P(X=2) + P(X=3) = 136 + 236 = 336 FX(4) &= P(X <= 4) = FX(3) + P(X=4) = 336 + 336 = 636 FX(5) &= FX(4) + P(X=5) = 636 + 436 = 1036 FX(6) &= FX(5) + P(X=6) = 1036 + 536 = 1536 FX(7) &= FX(6) + P(X=7) = 1536 + 636 = 2136 FX(8) &= FX(7) + P(X=8) = 2136 + 536 = 2636 FX(9) &= FX(8) + P(X=9) = 2636 + 436 = 3036 FX(10) &= FX(9) + P(X=10) = 3036 + 336 = 3336 FX(11) &= FX(10) + P(X=11) = 3336 + 236 = 3536 FX(12) &= FX(11) + P(X=12) = 3536 + 136 = 3636 = 1 .
A função de distribuição acumulada (FDA) FX(x) = 0 & para x < 2 136 & para 2 <= x < 3 336 & para 3 <= x < 4 636 & para 4 <= x < 5 1036 & para 5 <= x < 6 1536 & para 6 <= x < 7 2136 & para 7 <= x < 8 2636 & para 8 <= x < 9 3036 & para 9 <= x < 10 3336 & para 10 <= x < 11 3536 & para 11 <= x < 12 1 & para x >= 12 nos dá a probabilidade de que a variável aleatória seja menor ou igual a um certo valor . Em outras palavras,
Para calcular , vamos acumular as probabilidades da função de probabilidade que calculamos na parte (a) até o valor .
Vamos fazer isso para cada valor possível de :
Então, a função de distribuição acumulada é:

Passo 4

Parte ©: Fazer um gráfico da função de distribuição acumulada .
Para representar graficamente a função de distribuição acumulada , podemos criar um gráfico de escada, já que aumenta em saltos nas somas possíveis de .
Aqui está uma descrição de como o gráfico se parece:
  1. O eixo horizontal (x) representa os valores possíveis de (soma dos pontos), ou seja, de 2 a 12.
  2. O eixo vertical (y) representa a probabilidade acumulada , que varia de 0 a 1.
  3. Para cada valor de , desenhamos um salto no gráfico que corresponde à probabilidade acumulada até aquele ponto.
Por exemplo:
  • Para , .
  • Para , , e assim por diante, até , onde .
Cada salto representa o acréscimo da probabilidade daquela soma específica à probabilidade acumulada anterior.

Resposta

A função de distribuição acumulada para a variável aleatória está descrita no Passo 3, e o gráfico correspondente pode ser representado conforme explicado no Passo 4.

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