Suponha que um par de dados honestos vai ser lançado e considere a variável aleatória
(a) Obtenha a função da probabilidade de .
(b) Encontre a função de distribuição acumulada para a variável aleatória
© Faça um gráfico desta função de distribuição acumulada.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. Temos um par de dados justos sendo lançados, e a variável aleatória representa a soma dos pontos que aparecem nos dois dados. O que a gente precisa fazer aqui envolve conceitos de probabilidade, especificamente funções de probabilidade e funções de distribuição acumulada. Vamos resolver cada parte passo a passo para entender melhor.

Passo 2

Parte (a): Obter a função da probabilidade de .
Primeiro, vamos entender o que é uma função de probabilidade. Ela nos dá a chance de cada resultado possível da variável aleatória . No caso de dois dados, a soma pode variar de 2 a 12.
Como os dados são justos, cada face tem a mesma probabilidade de aparecer. Vamos listar todas as combinações possíveis que resultam em cada soma:
  • Soma 2: (1,1) → 1 combinação
  • Soma 3: (1,2), (2,1) → 2 combinações
  • Soma 4: (1,3), (2,2), (3,1) → 3 combinações
  • Soma 5: (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) → 4 combinações
  • Soma 6: (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) → 5 combinações
  • Soma 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) → 6 combinações
  • Soma 8: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) → 5 combinações
  • Soma 9: (3,6), (4,5), (5,4), (6,3) → 4 combinações
  • Soma 10: (4,6), (5,5), (6,4) → 3 combinações
  • Soma 11: (5,6), (6,5) → 2 combinações
  • Soma 12: (6,6) → 1 combinação
No total, temos 36 combinações possíveis (6 faces no primeiro dado × 6 faces no segundo dado).
Agora, a função de probabilidade para cada soma é o número de combinações que resultam em dividido pelo total de combinações. Assim:
úçõ
Então, a função de probabilidade de fica:

Passo 3

Parte (b): Encontrar a função de distribuição acumulada para .
A função de distribuição acumulada (FDA) nos dá a probabilidade de que a variável aleatória seja menor ou igual a um certo valor . Em outras palavras,
Para calcular , vamos acumular as probabilidades da função de probabilidade que calculamos na parte (a) até o valor .
Vamos fazer isso para cada valor possível de :
Então, a função de distribuição acumulada é:

Passo 4

Parte ©: Fazer um gráfico da função de distribuição acumulada .
Para representar graficamente a função de distribuição acumulada , podemos criar um gráfico de escada, já que aumenta em saltos nas somas possíveis de .
Aqui está uma descrição de como o gráfico se parece:
  1. O eixo horizontal (x) representa os valores possíveis de (soma dos pontos), ou seja, de 2 a 12.
  2. O eixo vertical (y) representa a probabilidade acumulada , que varia de 0 a 1.
  3. Para cada valor de , desenhamos um salto no gráfico que corresponde à probabilidade acumulada até aquele ponto.
Por exemplo:
  • Para , .
  • Para , , e assim por diante, até , onde .
Cada salto representa o acréscimo da probabilidade daquela soma específica à probabilidade acumulada anterior.

Resposta

A função de distribuição acumulada para a variável aleatória está descrita no Passo 3, e o gráfico correspondente pode ser representado conforme explicado no Passo 4.

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(a) Encontre a função da probabilidade de .
(b) Encontre a função de distribuç̧ão acumulada para a variável aleatória
© Faça um gráfico desta função de distribuição acumulada.
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(b) Encontre a probabilidade de que .
© Encontre a probabilidade de que .