Fasores são úteis para somar ondas que estão fora de fase. Por exemplo, considere que você tenha duas fontes, 1 e 2 , que emitem ondas de som a mesma frequência f. No seu detector, as ondas da fonte 1 tem amplitude de 1,00 times 10^-8 m, e as da fonte 2 tem amplitude de 0,60 times 10^-8 m e fase de pi / 3 em relação a fase das ondas da fonte 1. Se a fase das ondas da fonte 1 for escolhida arbitrariamente como sendo phi=0, qual é a amplitude e a fase das ondas combinadas?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas ondas sonoras que têm a mesma frequência, mas diferentes amplitudes e fases. Queremos descobrir qual é a amplitude e a fase resultante quando essas duas ondas são combinadas. Para resolver isso, vamos usar o conceito de fasores, que nos ajuda a somar ondas que estão fora de fase.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
  • Amplitude da fonte 1 ( A1): 1,00 times 10^-8 m
  • Amplitude da fonte 2 ( A2): 0,60 times 10^-8 m
  • Diferença de fase ( phi): pi/3 radianos

Passo 3

O próximo passo é aplicar a fórmula para a amplitude resultante de duas ondas que estão fora de fase. A fórmula é:
Ar = raizA1^2 + A2^2 + 2A1A2 cos(phi)
Isso nos dará a amplitude combinada das duas ondas.

Passo 4

Vamos substituir os valores na fórmula:
Ar = raiz(1,00 times 10^-8)^2 + (0,60 times 10^-8)^2 + 2 times (1,00 times 10^-8) times (0,60 times 10^-8) times cos(pi3)

Passo 5

Agora, vamos calcular cada parte:
  • (1,00 times 10^-8)^2 = 1,00 times 10^-16
  • (0,60 times 10^-8)^2 = 0,36 times 10^-16
  • cos(pi3) = 0,5
  • 2 times 1,00 times 10^-8 times 0,60 times 10^-8 times 0,5 = 0,60 times 10^-16

Passo 6

Somando tudo dentro da raiz:
Ar = raiz1,00 times 10^-16 + 0,36 times 10^-16 + 0,60 times 10^-16 = raiz1,96 times 10^-16 = 1,40 times 10^-8 m

Passo 7

Agora, para encontrar a fase resultante ( phir), usamos a fórmula:
phir = tan^-1(A2 sin(phi)A1 + A2 cos(phi))

Passo 8

Substituindo os valores:
phir = tan^-1(0,60 times 10^-8 times sin(pi3)1,00 times 10^-8 + 0,60 times 10^-8 times cos(pi3))

Passo 9

Calculando os componentes:
  • sin(pi3) = raiz32 approx 0,866
  • cos(pi3) = 0,5
  • Numerador: 0,60 times 10^-8 times 0,866 approx 0,52 times 10^-8
  • Denominador: 1,00 times 10^-8 + 0,60 times 10^-8 times 0,5 = 1,00 times 10^-8 + 0,30 times 10^-8 = 1,30 times 10^-8

Passo 10

Agora, vamos calcular a tangente inversa:
phir = tan^-1(0,52 times 10^-81,30 times 10^-8) = tan^-1(0,4) approx 0,38 radianos

Resposta

A amplitude das ondas combinadas é 1,40 times 10^-8 metros e a fase resultante é aproximadamente 0,38 radianos.

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