Em duas dimensões, a equação de onda pode ser generalizada como sendo
Simplifique essa equação para o caso onde
dependa apenas da distância da origem e do tempo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação de onda em duas dimensões e o objetivo é simplificar ela para o caso onde a função
depende apenas da distância da origem e do tempo
. A matéria envolvida aqui é cálculo diferencial, especificamente equações diferenciais parciais. Para resolver isso, vamos precisar usar coordenadas polares e entender como a derivada segunda se comporta nessa nova coordenada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que
depende apenas da distância da origem e do tempo. Isso quer dizer que
é uma função de
e
, onde
é a distância até a origem, calculada como
. Então, podemos escrever
.
Passo 3
A equação de onda dada é:
Como
depende só de
e
, é mais fácil trabalhar em coordenadas polares. Em coordenadas polares, o operador Laplaciano (a parte esquerda da nossa equação) é dado por:
Passo 4
Mas, como
não depende do ângulo
, a segunda derivada em relação a
desaparece. Assim, a equação do Laplaciano simplifica para:
Passo 5
Substituindo isso na equação de onda original, temos:
Passo 6
Então, a equação de onda simplificada para
dependente apenas da distância
e do tempo
fica assim:
Resposta
A equação de onda, simplificada para
depender apenas da distância da origem
e do tempo
, fica: