Em duas dimensões, a equação de onda pode ser generalizada como sendo
(partial^2partial x^2+partial^2partial y^2) f=1v^2 partial^2partial t^2 f
Simplifique essa equação para o caso onde f dependa apenas da distância da origem e do tempo t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação de onda em duas dimensões e o objetivo é simplificar ela para o caso onde a função depende apenas da distância da origem e do tempo . A matéria envolvida aqui é cálculo diferencial, especificamente equações diferenciais parciais. Para resolver isso, vamos precisar usar coordenadas polares e entender como a derivada segunda se comporta nessa nova coordenada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que depende apenas da distância da origem e do tempo. Isso quer dizer que é uma função de e , onde é a distância até a origem, calculada como . Então, podemos escrever .

Passo 3

A equação de onda dada é:
(partial^2partial x^2+partial^2partial y^2) f = 1v^2 partial^2partial t^2 f
Como nabla^2 f = 1r partialpartial r ( r partial fpartial r ) + 1r^2 partial^2 fpartial theta^2 depende só de e , é mais fácil trabalhar em coordenadas polares. Em coordenadas polares, o operador Laplaciano (a parte esquerda da nossa equação) é dado por:

Passo 4

Mas, como nabla^2 f = 1r partialpartial r ( r partial fpartial r ) não depende do ângulo , a segunda derivada em relação a desaparece. Assim, a equação do Laplaciano simplifica para:

Passo 5

Substituindo isso na equação de onda original, temos:
1r partialpartial r ( r partial fpartial r ) = 1v^2 partial^2 fpartial t^2

Passo 6

Então, a equação de onda simplificada para 1r partialpartial r ( r partial fpartial r ) = 1v^2 partial^2 fpartial t^2 dependente apenas da distância e do tempo fica assim:

Resposta

A equação de onda, simplificada para 1r partialpartial r ( r partial fpartial r ) = 1v^2 partial^2 fpartial t^2 depender apenas da distância da origem e do tempo , fica:

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