Prove que para dois objetos movendo-se lentamente quando comparados com a velocidade da luz, a fração de variação de frequência devido ao efeito Doppler é justamente a velocidade do objeto em unidades da velocidade da luz.
Passo 1
Beleza, então o enunciado está pedindo para provar que, quando dois objetos estão se movendo devagar comparado à velocidade da luz, a variação fracionária de frequência devido ao efeito Doppler é igual à velocidade do objeto dividida pela velocidade da luz. A gente vai precisar entender o que é o efeito Doppler e como ele afeta a frequência da luz quando há movimento entre a fonte e o observador.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula geral do efeito Doppler para luz. Quando a fonte está se aproximando do observador, a frequência observada
é maior que a frequência emitida
. A fórmula é:
Aqui,
é a velocidade relativa entre a fonte e o observador, e
é a velocidade da luz.
Passo 3
Como estamos considerando que os objetos estão se movendo lentamente em comparação com a velocidade da luz (
), podemos fazer uma aproximação para simplificar a fórmula. Vamos expandir a expressão usando uma aproximação de série de Taylor para pequenos valores de
.
Primeiro, a raiz quadrada pode ser aproximada da seguinte forma:
Isso porque, para
muito pequeno, termos de ordem superior (como
) podem ser desprezados.
Passo 4
Agora, substituindo essa aproximação na fórmula da frequência observada:
A variação de frequência
é a diferença entre a frequência observada e a frequência emitida:
Então, a fração da variação de frequência é:
Resposta
Para objetos movendo-se lentamente comparados à velocidade da luz, a fração de variação de frequência devido ao efeito Doppler é igual à velocidade do objeto dividida pela velocidade da luz, ou seja: