Prove que para dois objetos movendo-se lentamente quando comparados com a velocidade da luz, a fração de variação de frequência devido ao efeito Doppler é justamente a velocidade do objeto em unidades da velocidade da luz.

Passo 1

Beleza, então o enunciado está pedindo para provar que, quando dois objetos estão se movendo devagar comparado à velocidade da luz, a variação fracionária de frequência devido ao efeito Doppler é igual à velocidade do objeto dividida pela velocidade da luz. A gente vai precisar entender o que é o efeito Doppler e como ele afeta a frequência da luz quando há movimento entre a fonte e o observador.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula geral do efeito Doppler para luz. Quando a fonte está se aproximando do observador, a frequência observada f' = f raiz1 + vc1 - vc é maior que a frequência emitida . A fórmula é:
Aqui, é a velocidade relativa entre a fonte e o observador, e é a velocidade da luz.

Passo 3

Como estamos considerando que os objetos estão se movendo lentamente em comparação com a velocidade da luz ( raiz1 + vc1 - vc approx 1 + vc ), podemos fazer uma aproximação para simplificar a fórmula. Vamos expandir a expressão usando uma aproximação de série de Taylor para pequenos valores de .
Primeiro, a raiz quadrada pode ser aproximada da seguinte forma:
Isso porque, para muito pequeno, termos de ordem superior (como ) podem ser desprezados.

Passo 4

Agora, substituindo essa aproximação na fórmula da frequência observada:
f' approx f (1 + vc)
A variação de frequência De é a diferença entre a frequência observada e a frequência emitida:
De
Então, a fração da variação de frequência é:

Resposta

Para objetos movendo-se lentamente comparados à velocidade da luz, a fração de variação de frequência devido ao efeito Doppler é igual à velocidade do objeto dividida pela velocidade da luz, ou seja:
De

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