Encontre soluções particulares envolvendo integrais indefinidas não-elementares:
y^prime prime+4 y=e^-x^2 Resposta: yp=12(cos 2 x integral-e^-x^2 sen 2(x) d x+sin 2 x integral e^-x^2 cos 2(x) d x)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial do segundo grau:
y'' + 4y = e^-x^2
O objetivo é encontrar uma solução particular dessa equação, ou seja, uma função yp que satisfaça essa equação. Para isso, vamos usar o método dos coeficientes a determinar, mais especificamente, o método de variação de parâmetros. Vamos precisar conhecer as soluções da equação homogênea associada e aplicar integrais para encontrar yp.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:
y'' + 4y = 0
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação é uma combinação das funções trigonométricas:
yh = C1 cos(2x) + C2 sin(2x)
Onde C1 e C2 são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (não fornecidas aqui).

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular yp para a equação completa:
y'' + 4y = e^-x^2
Como a parte da direita, e^-x^2, não é uma função que se encaixa diretamente nas soluções da equação homogênea, vamos usar o método de variação de parâmetros. Esse método nos ajuda a encontrar yp assumindo que os coeficientes C1 e C2 na solução homogênea não são constantes, mas funções de x.

Passo 4

Aplicando o método de variação de parâmetros, a solução particular yp é dada por:
yp = u1(x) cos(2x) + u2(x) sin(2x)
Aqui, u1(x) e u2(x) são funções que precisamos determinar. Para isso, usamos as seguintes fórmulas:
u1' = -y2(x) g(x)W
u2' = y1(x) g(x)W
Onde:
  • y1(x) = cos(2x)
  • y2(x) = sin(2x)
  • g(x) = e^-x^2
  • W é o Wronskiano das soluções y1 e y2.

Passo 5

Vamos calcular o Wronskiano W:
W = y1 y2' - y2 y1'
Calculando as derivadas:
y1' = -2 sin(2x)
y2' = 2 cos(2x)
Então:
W = cos(2x) cdot 2 cos(2x) - sin(2x) cdot (-2 sin(2x)) = 2cos^2(2x) + 2sin^2(2x) = 2(cos^2(2x) + sin^2(2x)) = 2

Passo 6

Com o Wronskiano calculado, agora podemos encontrar u1' e u2':
u1' = -sin(2x) cdot e^-x^22
u2' = cos(2x) cdot e^-x^22
Agora, integramos essas expressões para encontrar u1(x) e u2(x):
u1(x) = integral -sin(2x) e^-x^22 dx = -12 integral e^-x^2 sin(2x) dx
u2(x) = integral cos(2x) e^-x^22 dx = 12 integral e^-x^2 cos(2x) dx

Passo 7

Substituindo u1(x) e u2(x) na expressão da solução particular yp:
yp = cos(2x) cdot (-12 integral e^-x^2 sin(2x) dx) + sin(2x) cdot (12 integral e^-x^2 cos(2x) dx)
Simplificando:
yp = 12 ( -cos(2x) integral e^-x^2 sin(2x) dx + sin(2x) integral e^-x^2 cos(2x) dx )

Resposta

A solução particular é:
yp = 12 ( cos(2x) integral -e^-x^2 sin(2x) , dx + sin(2x) integral e^-x^2 cos(2x) , dx )

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