Encontre soluções particulares envolvendo integrais indefinidas não-elementares:
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial do segundo grau:
O objetivo é encontrar uma solução particular dessa equação, ou seja, uma função
que satisfaça essa equação. Para isso, vamos usar o método dos coeficientes a determinar, mais especificamente, o método de variação de parâmetros. Vamos precisar conhecer as soluções da equação homogênea associada e aplicar integrais para encontrar
.
Passo 2
Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação é uma combinação das funções trigonométricas:
Onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (não fornecidas aqui).
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
Como a parte da direita,
, não é uma função que se encaixa diretamente nas soluções da equação homogênea, vamos usar o método de variação de parâmetros. Esse método nos ajuda a encontrar
assumindo que os coeficientes
e
na solução homogênea não são constantes, mas funções de
.
Passo 4
Aplicando o método de variação de parâmetros, a solução particular
é dada por:
Aqui,
e
são funções que precisamos determinar. Para isso, usamos as seguintes fórmulas:
Onde:
-
-
-
-
é o Wronskiano das soluções e .
Passo 5
Vamos calcular o Wronskiano
:
Calculando as derivadas:
Então:
Passo 6
Com o Wronskiano calculado, agora podemos encontrar
e
:
Agora, integramos essas expressões para encontrar
e
:
Passo 7
Substituindo
e
na expressão da solução particular
:
Simplificando:
Resposta
A solução particular é: