Uma lâmpada incandescente tem a probabilidade 0,4 de funcionar por mais de 1000 horas. Para controle de qualidade do produto, um engenheiro de produção analisou 10 lâmpadas do mesmo tipo e, para cada uma delas, observou-se o tempo máximo de funcionamento. Assinale a alternativa que indica qual será a probabilidade, de que, exatamente 4, das 10 lâmpadas analisadas, continue funcionando eficientemente após ter chegado a 1000 horas de uso. 24,08%. 25,08%. 22,08%. 21,08%. 23,08%.

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma lâmpada que tem 40% de chance (probabilidade 0,4) de funcionar por mais de 1000 horas. Um engenheiro decidiu testar 10 lâmpadas desse tipo para verificar quantas delas realmente duram mais de 1000 horas. A pergunta é: Qual a probabilidade de exatamente 4 dessas 10 lâmpadas continuarem funcionando eficientemente após 1000 horas?
Para resolver isso, vamos usar probabilidade binomial, que é adequada quando temos um número fixo de tentativas, cada tentativa tem dois resultados possíveis (sucesso ou fracasso), as tentativas são independentes, e a probabilidade de sucesso é a mesma em cada tentativa.

Passo 2

A fórmula da probabilidade binomial é:
P(X = k) = C(n, k) times p^k times (1-p)^n-k
Onde:
  • $ P(X = k) $ é a probabilidade de exatamente $ k $ sucessos.
  • $ C(n, k) $ é o número de combinações de $ n $ itens tomados $ k $ de cada vez.
  • $ p $ é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa.
  • $ n $ é o número total de tentativas.
  • $ k $ é o número de sucessos desejados.

Passo 3

Vamos identificar os valores que vamos usar na fórmula:
  • $ n = 10 $ (total de lâmpadas testadas)
  • $ k = 4 $ (lâmpadas que queremos que funcionem após 1000 horas)
  • $ p = 0,4 $ (probabilidade de uma lâmpada funcionar mais de 1000 horas)

Passo 4

Calcular $ C(10, 4) $, que é o número de combinações de 10 lâmpadas tomadas 4 de cada vez:
C(10, 4)

Passo 5

Calcular $ p^k = 0,4^4 $:
p^k = 0,4^4

Passo 6

Calcular $ (1-p)^{n-k} = 0,6^6 $:
(1-p)^n-k = 0,6^6

Passo 7

Agora, substituir todos os valores na fórmula da probabilidade binomial:
P(X = 4) = 210 times 0,0256 times 0,046656

Passo 8

Multiplicando os valores:
P(X = 4) = 210 times 0,001194 ≈ 0,2500

Resposta

A probabilidade de que exatamente 4 das 10 lâmpadas continuem funcionando eficientemente após 1000 horas é 25,08%.

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