Um fazendeiro possui 2000 m de cerca para construir 6 currais conforme mostrados na figura abaixo. Ache as dimensões que maximizam a área cercada. Determine essa área.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que um fazendeiro tem 2000 metros de cerca para montar 6 currais. A missão é descobrir quais são as dimensões que vão maximizar a área total cercada e, claro, calcular essa área máxima. Para resolver isso, vamos usar um pouco de geometria e cálculo, mas tudo de um jeito bem tranquilo.
Passo 2
Primeiro, precisamos imaginar como esses 6 currais estão organizados. Geralmente, quando não temos a figura, assumimos que os currais estão dispostos em linha, compartilhando lados para otimizar o uso da cerca. Vamos supor que cada curral seja um retângulo, e que todos tenham as mesmas dimensões: largura
e comprimento
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o total de cerca utilizada. Como os currais estão juntos, algumas cercas são compartilhadas entre eles. Para 6 currais em fila, teremos 7 divisórias verticais (as que dividem os currais) e 2 lados horizontais (frente e trás). Assim, o perímetro total será dado por:
Sabemos que
metros, então:
Passo 4
Queremos maximizar a área total. A área de um curral é
, então para 6 currais, a área total será:
Nosso objetivo é maximizar
sujeito à restrição do perímetro.
Passo 5
Vamos resolver a equação do perímetro para uma das variáveis, por exemplo,
:
Agora, substituímos
na fórmula da área total:
Passo 6
Para encontrar o valor de
que maximiza a área, vamos derivar a função
em relação a
e igualar a derivada a zero:
Agora, substituímos
de volta na equação do perímetro para encontrar
:
Resposta
As dimensões que maximizam a área são
metros e
metros. A área máxima cercada é de
metros quadrados.
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