Encontre o domínio máximo de definição e esboce o gráfico das seguintes funções, explicitando quais são as interseç̧ões com os eixos x e y, buracos e assíntotas horizontais e verticais quando existirem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o domínio de definição da função e fazer um esboço do gráfico. Para isso, vamos precisar entender conceitos de funções racionais, identificar onde a função está definida, encontrar as interseções com os eixos, e determinar possíveis assíntotas e buracos no gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o domínio da função. O domínio são todos os valores de para os quais a função está definida, ou seja, onde o denominador não é zero.
Temos:
Resolvendo a equação :
Então, a função não está definida em . Portanto, o domínio é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar as interseções com os eixos.
  • Interseção com o eixo y: é o ponto onde .
Então, a interseção com o eixo y é .
  • Interseção com o eixo x: é o ponto onde .
Então, a interseção com o eixo x é .

Passo 4

Vamos verificar buracos e assíntotas.
  • Buracos: acontecem quando há um fator comum no numerador e denominador que zera. No nosso caso, o denominador é e o numerador é . Não há fatores comuns, então não há buracos.
  • Assíntotas Verticais: São as retas verticais onde a função tende ao infinito. Aqui, o denominador zera em , então temos uma assíntota vertical em:
  • Assíntotas Horizontais: Olhamos para os graus do numerador e denominador. O numerador é de grau 1 e o denominador de grau 2. Quando o grau do denominador é maior, a assíntota horizontal é .

Passo 5

Com todas as informações, podemos esboçar o gráfico:
  • O domínio é todo real, exceto .
  • A função cruza o eixo y em e o eixo x em .
  • Há uma assíntota vertical em e uma assíntota horizontal em .
  • Não há buracos no gráfico.

Resposta

O dom��nio máximo de definição da função é . As interseções com os eixos são no eixo y e no eixo x. Não há buracos. As assíntotas são verticais em e horizontal em . O gráfico apresenta essas características conforme descrito.

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