Encontre o domínio máximo de definição e esboce o gráfico das seguintes funções, explicitando quais são as interseç̧ões com os eixos x e y, buracos e assíntotas horizontais e verticais quando existirem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o domínio de definição da função
e fazer um esboço do gráfico. Para isso, vamos precisar entender conceitos de funções racionais, identificar onde a função está definida, encontrar as interseções com os eixos, e determinar possíveis assíntotas e buracos no gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o domínio da função. O domínio são todos os valores de
para os quais a função está definida, ou seja, onde o denominador não é zero.
Temos:
Resolvendo a equação
:
Então, a função não está definida em
. Portanto, o domínio é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar as interseções com os eixos.
- Interseção com o eixo y: é o ponto onde
.
Então, a interseção com o eixo y é
.
- Interseção com o eixo x: é o ponto onde
.
Então, a interseção com o eixo x é
.
Passo 4
Vamos verificar buracos e assíntotas.
-
Buracos: acontecem quando há um fator comum no numerador e denominador que zera. No nosso caso, o denominador é
e o numerador é . Não há fatores comuns, então não há buracos. -
Assíntotas Verticais: São as retas verticais onde a função tende ao infinito. Aqui, o denominador zera em
, então temos uma assíntota vertical em:
- Assíntotas Horizontais: Olhamos para os graus do numerador e denominador. O numerador é de grau 1 e o denominador de grau 2. Quando o grau do denominador é maior, a assíntota horizontal é
.
Passo 5
Com todas as informações, podemos esboçar o gráfico:
- O domínio é todo real, exceto
. - A função cruza o eixo y em
e o eixo x em . - Há uma assíntota vertical em
e uma assíntota horizontal em . - Não há buracos no gráfico.
Resposta
O dom��nio máximo de definição da função é
. As interseções com os eixos são
no eixo y e
no eixo x. Não há buracos. As assíntotas são verticais em
e horizontal em
. O gráfico apresenta essas características conforme descrito.
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.
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