Uma calha é feita dobrando uma folha de alumínio de 40 cm de largura de modo que as laterais formem um ângulo reto com o fundo. Determine a profundidade da calha que maximiza o volume de água que a calha suporta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma calha feita dobrando uma folha de alumínio de 40 cm de largura, onde as laterais formam ângulos retos com o fundo. Nosso objetivo é descobrir qual deve ser a profundidade dessa calha para que ela possa guardar o máximo de água possível. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra e cálculo, especialmente otimização de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a folha de alumínio é dobrada para formar a calha. Se a largura da folha é 40 cm e dobramos duas laterais, cada uma com profundidade
, então o fundo da calha terá largura
cm. Isso porque estamos retirando
cm de cada lado para formar as laterais.
Passo 3
Agora, vamos pensar no volume de água que a calha pode sujar. Como não temos o comprimento da calha, vamos considerar o volume por unidade de comprimento, ou seja, vamos trabalhar com a área da seção transversal da calha. A área
dessa seção é dada por:
Aqui,
é a largura do fundo e
é a profundidade da calha.
Passo 4
Nosso objetivo é maximizar essa área
. Para isso, vamos derivar a função em relação a
e encontrar o ponto onde a derivada é zero (ponto de máximo).
Primeiro, escrevemos a função:
Passo 5
Agora, calculamos a derivada de
em relação a
:
Em seguida, igualamos a derivada a zero para encontrar o valor de
que maximiza a área:
Passo 6
Resolvendo a equação:
Resposta
A profundidade que maximiza o volume de água que a calha suporta é de 10 cm.
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