Uma calha é feita dobrando uma folha de alumínio de 40 cm de largura de modo que as laterais formem um ângulo reto com o fundo. Determine a profundidade da calha que maximiza o volume de água que a calha suporta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma calha feita dobrando uma folha de alumínio de 40 cm de largura, onde as laterais formam ângulos retos com o fundo. Nosso objetivo é descobrir qual deve ser a profundidade dessa calha para que ela possa guardar o máximo de água possível. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra e cálculo, especialmente otimização de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a folha de alumínio é dobrada para formar a calha. Se a largura da folha é 40 cm e dobramos duas laterais, cada uma com profundidade , então o fundo da calha terá largura cm. Isso porque estamos retirando cm de cada lado para formar as laterais.

Passo 3

Agora, vamos pensar no volume de água que a calha pode sujar. Como não temos o comprimento da calha, vamos considerar o volume por unidade de comprimento, ou seja, vamos trabalhar com a área da seção transversal da calha. A área dessa seção é dada por:
Aqui, é a largura do fundo e é a profundidade da calha.

Passo 4

Nosso objetivo é maximizar essa área . Para isso, vamos derivar a função em relação a e encontrar o ponto onde a derivada é zero (ponto de máximo).
Primeiro, escrevemos a função:

Passo 5

Agora, calculamos a derivada de em relação a :
Em seguida, igualamos a derivada a zero para encontrar o valor de que maximiza a área:

Passo 6

Resolvendo a equação:

Resposta

A profundidade que maximiza o volume de água que a calha suporta é de 10 cm.

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