Um fazendeiro quer cercar com arame um terreno quadrado de lados 25 m e para isso adquire 100 m de fio. Fazendo o cercado, o fazendeiro percebe que faltaram 2 cm de fio para a cerca ficar perfeita. Como não quer desperdiçar o material e seria impossível uma emenda no arame, o fazendeiro decide pensar em uma alternativa. Depois de algumas horas, ele percebe que naquele dia a temperatura da cidade está mais baixa do que a média e decide fazer cálculos para verificar se seria possível utilizar o fio num dia mais quente, já que ele estaria dilatado. Sabendo que o acréscimo no comprimento do fio é proporcional ao seu comprimento inicial, ao seu coeficiente de dilatação linear e à variação de temperatura sofrida, calcule o aumento de temperatura que deve ocorrer na cidade para que o fio atinja o tamanho desejado. (Dado: coeficiente de dilatação térmica linear do fio =4 cdot 10^-50 C^-1. .)
Sendo a dilatação linear dada por:
De
Lembrando que as unidades de comprimento devem estar no mesmo sistema de unidades, a variação deve ser igual a 0,02m:
& 0,02=100 cdot 4 cdot 10^-5 cdot De

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa calcular quanto a temperatura tem que aumentar para que o fio de arame que o fazendeiro comprou se expanda o suficiente e conseguir cercar o terreno quadrado sem faltar fio. Vamos usar conceitos de dilatação térmica linear, que envolvem fórmulas para entender como o comprimento de um material muda com a temperatura.

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual o comprimento total que o fazendeiro precisa para cercar o terreno. Como o terreno é quadrado com lados de 25 metros, o perímetro é:
P = 4 times 25 = 100 metros
Ele comprou exatamente 100 metros de fio, mas faltaram 2 centímetros, ou seja, 0,02 metros. Isso significa que precisamos aumentar o comprimento do fio em 0,02 metros.

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula da dilatação linear para encontrar a variação de temperatura necessária. A fórmula é:
De
Onde:
  • De é o aumento no comprimento (0,02 m)
  • L0 é o comprimento inicial do fio (100 m)
  • alpha é o coeficiente de dilatação térmica linear ( 4 times 10^-5 , °C^-1)
  • De é a variação de temperatura que queremos encontrar

Passo 4

Vamos reorganizar a fórmula para resolver De:
De
Substituindo os valores:
De

Passo 5

Calculando o denominador primeiro:
100 times 4 times 10^-5 = 4 times 10^-3
Então:
De

Resposta

A temperatura precisa aumentar 5°C para que o fio de arame atinja o comprimento necessário para cercar o terreno.

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