Um fazendeiro quer cercar com arame um terreno quadrado de lados 25 m e para isso adquire 100 m de fio. Fazendo o cercado, o fazendeiro percebe que faltaram 2 cm de fio para a cerca ficar perfeita. Como não quer desperdiçar o material e seria impossível uma emenda no arame, o fazendeiro decide pensar em uma alternativa. Depois de algumas horas, ele percebe que naquele dia a temperatura da cidade está mais baixa do que a média e decide fazer cálculos para verificar se seria possível utilizar o fio num dia mais quente, já que ele estaria dilatado. Sabendo que o acréscimo no comprimento do fio é proporcional ao seu comprimento inicial, ao seu coeficiente de dilatação linear e à variação de temperatura sofrida, calcule o aumento de temperatura que deve ocorrer na cidade para que o fio atinja o tamanho desejado. (Dado: coeficiente de dilatação térmica linear do fio
. .)
Sendo a dilatação linear dada por:
Lembrando que as unidades de comprimento devem estar no mesmo sistema de unidades, a variação deve ser igual a 0,02m:
Sendo a dilatação linear dada por:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa calcular quanto a temperatura tem que aumentar para que o fio de arame que o fazendeiro comprou se expanda o suficiente e conseguir cercar o terreno quadrado sem faltar fio. Vamos usar conceitos de dilatação térmica linear, que envolvem fórmulas para entender como o comprimento de um material muda com a temperatura.
Passo 2
Primeiro, vamos entender qual o comprimento total que o fazendeiro precisa para cercar o terreno. Como o terreno é quadrado com lados de 25 metros, o perímetro é:
Ele comprou exatamente 100 metros de fio, mas faltaram 2 centímetros, ou seja, 0,02 metros. Isso significa que precisamos aumentar o comprimento do fio em 0,02 metros.
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula da dilatação linear para encontrar a variação de temperatura necessária. A fórmula é:
Onde:
-
é o aumento no comprimento (0,02 m) -
é o comprimento inicial do fio (100 m) -
é o coeficiente de dilatação térmica linear ( ) -
é a variação de temperatura que queremos encontrar
Passo 4
Vamos reorganizar a fórmula para resolver
:
Substituindo os valores:
Passo 5
Calculando o denominador primeiro:
Então:
Resposta
A temperatura precisa aumentar 5°C para que o fio de arame atinja o comprimento necessário para cercar o terreno.