Fazendo: u = x^2 + 4x + 3 => du = (2x + 4) dx => dx = du / (2(x + 2))

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Aqui a gente está lidando com cálculo, mais especificamente com derivadas e substituições. O problema define uma nova variável e quer que a gente encontre uma expressão para em termos de . Então, o que precisamos é relacionar essas duas diferencas infinitesimais usando a regra da derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar em relação a . Isso significa achar . Calculando cada termo:
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
  • A derivada de é (já que a derivada de uma constante é sempre zero).
Então, juntando tudo:

Passo 3

Agora, queremos expressar em termos de . Para isso, vamos rearranjar a equação que acabamos de encontrar. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por :
Em seguida, isolamos dividindo ambos os lados por :

Passo 4

Podemos simplificar fatorando o 2:
Então, substituindo de volta na equação para :

Resposta

Finalmente, a expressão para em termos de é:

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