Nos exercícios 14. a 25. Calcule o limite.
lim x -1 x+1raiz[3]2 x+3-1

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite quando limx -1 x + 1raiz[3]2x + 3 - 1 se aproxima de da expressão:
Esse problema está relacionado aos limites de funções e, especificamente, envolve manipulação de expressões algébricas e raciocínio sobre comportamentos de funções próximas a um ponto específico. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar a expressão para evitar indeterminações.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos (-1) + 1raiz[3]2(-1) + 3 - 1 = 0raiz[3]-2 + 3 - 1 = 0raiz[3]1 - 1 = 01 - 1 = 00 diretamente na expressão:
Obtemos uma forma indeterminada , o que significa que precisamos manipular a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos considerar substituir yraiz[3]2(y - 1) + 3 - 1 = yraiz[3]2y - 2 + 3 - 1 = yraiz[3]2y + 1 - 1 . Então, quando limy 0 yraiz[3]2y + 1 - 1 se aproxima de , se aproxima de .
Substituindo na expressão original:
Agora, temos o limite como se aproxima de :

Passo 4

Vamos expandir a expressão raiz[3]2y + 1 approx 1 + 2y3 usando a expansão em série de Taylor para a raiz cúbica perto de raiz[3]2y + 1 - 1 approx 2y3 :
Então, substituindo na expressão do denominador:

Passo 5

Agora, substituindo essa aproximação na expressão do limite:
limy 0 y2y3 = limy 0 y cdot 32y = limy 0 32 = 32

Resposta

O limite é .

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