Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada de g(x).
g(x)=integral1^e^x ln (t) d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada de usando a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo. Primeiro, precisamos entender que vamos aplicar o conceito de derivada de uma integral definida cujo limite superior é uma função de . Para isso, vamos precisar conhecer as regras de derivação de funções compostas e a aplicação do Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Vamos lembrar o que diz a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo. Ela estabelece que se , então a derivada de em relação a é . Ou seja, a derivada da integral definida com limite superior é simplesmente a função integranda avaliada em .

Passo 3

No nosso caso, temos . Aqui, o limite superior é em vez de . Então, precisamos aplicar a regra da cadeia para derivar essa composição de funções.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia, a derivada de g'(x) = ln(e^x) cdot ddx(e^x) será a função integranda avaliada no limite superior multiplicada pela derivada do limite superior em relação a . Matematicamente, isso fica:

Passo 5

Agora, vamos simplificar cada parte. Primeiro, simplifica para , porque o logaritmo natural de elevado a é apenas . Em seguida, a derivada de em relação a é .

Passo 6

Substituindo essas simplificações na expressão de g'(x) = x cdot e^x , temos:

Resposta

A derivada de é .

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