Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada de
usando a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo. Primeiro, precisamos entender que vamos aplicar o conceito de derivada de uma integral definida cujo limite superior é uma função de
. Para isso, vamos precisar conhecer as regras de derivação de funções compostas e a aplicação do Teorema Fundamental do Cálculo.
Passo 2
Vamos lembrar o que diz a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo. Ela estabelece que se
, então a derivada de
em relação a
é
. Ou seja, a derivada da integral definida com limite superior
é simplesmente a função integranda avaliada em
.
Passo 3
No nosso caso, temos
. Aqui, o limite superior é
em vez de
. Então, precisamos aplicar a regra da cadeia para derivar essa composição de funções.
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia, a derivada de
será a função integranda avaliada no limite superior multiplicada pela derivada do limite superior em relação a
. Matematicamente, isso fica:
Passo 5
Agora, vamos simplificar cada parte. Primeiro,
simplifica para
, porque o logaritmo natural de
elevado a
é apenas
. Em seguida, a derivada de
em relação a
é
.
Passo 6
Substituindo essas simplificações na expressão de
, temos:
Resposta
A derivada de
é
.
Exercícios relacionados
Fazendo:
Resolver pelo método de Bhaskara.
Nos exercícios 14. a 25. Calcule o limite.
Nos exercícios 14. a 25. Calcule o limite.
sabendo que: determine:
sabendo que: