Anti-derivar:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente anti-derivar a função
. Isso é parte do Cálculo Integral, onde a gente busca a função original cuja derivada é a função dada. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de integração, como a integração por partes ou a substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a integração. Observe que
. Como
é uma constante, podemos tirá-lo da integral:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a substituição para resolver a integral restante. Vamos definir:
Também, reescrevemos
em termos de
:
Passo 4
Substituindo tudo na integral:
Simplificando as constantes:
Passo 5
Para resolver
, usamos a integração por partes. Vamos definir:
Então,
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
Passo 6
Agora, precisamos integrar
, que novamente requer integração por partes. Repetindo o processo:
Assim,
Aplicando integração por partes:
Passo 7
Agora, percebemos que a integral
apareceu novamente. Vamos chamar essa integral de
:
Resolvendo para
:
Passo 8
Voltando à nossa integral original:
Substituindo os valores de
:
Simplificando:
Resposta
A antiderivada de
é:
Onde
é a constante de integração.
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b. Um marinheiro encontra-se num bote a remos a 9 quilômetros de distância de uma praia retilínea. O homem deseja atingir um ponto em terra localizado a 15 quilômetros de distância do ponto da praia mais próximo do bote no menor tempo possível. Considerando que a velocidade do homem ao remar é de 4 quilômetros horários, e ao caminhar é de 5 quilômetros horários, determinar o local de desembarque para que o destino seja atingido no menor tempo possível.
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Anti-derivar:
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