Anti-derivar:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente anti-derivar a função . Isso é parte do Cálculo Integral, onde a gente busca a função original cuja derivada é a função dada. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de integração, como a integração por partes ou a substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a integração. Observe que . Como é uma constante, podemos tirá-lo da integral:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a substituição para resolver a integral restante. Vamos definir:
ã
Também, reescrevemos em termos de :

Passo 4

Substituindo tudo na integral:
Simplificando as constantes:

Passo 5

Para resolver , usamos a integração por partes. Vamos definir:
Então,
Aplicando a fórmula de integração por partes :

Passo 6

Agora, precisamos integrar , que novamente requer integração por partes. Repetindo o processo:
Assim,
Aplicando integração por partes:

Passo 7

Agora, percebemos que a integral apareceu novamente. Vamos chamar essa integral de :
Resolvendo para :

Passo 8

Voltando à nossa integral original:
Substituindo os valores de :
Simplificando:

Resposta

A antiderivada de é:
Onde é a constante de integração.

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b. Um marinheiro encontra-se num bote a remos a 9 quilômetros de distância de uma praia retilínea. O homem deseja atingir um ponto em terra localizado a 15 quilômetros de distância do ponto da praia mais próximo do bote no menor tempo possível. Considerando que a velocidade do homem ao remar é de 4 quilômetros horários, e ao caminhar é de 5 quilômetros horários, determinar o local de desembarque para que o destino seja atingido no menor tempo possível.
Anti-derivar:
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