Ao se fechar o interruptor, no instante
, é aplicada uma tensão
a um circuito RC série, onde
e
. Considere que o capacitor possui uma carga inicial de
. Determinar:
a) o menor valor positivo do ângulo
no instante em que se fechar o interruptor para que a corrente atinja diretamente o regime permanente.
a) o menor valor positivo do ângulo
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um circuito RC série onde:
- Resistência,
- Capacitância,
- Tensão aplicada,
- Carga inicial no capacitor,
Queremos encontrar o menor valor positivo do ângulo
para que a corrente no circuito entre diretamente no regime permanente, ou seja, sem apresentar termos transitórios.
Para resolver isso, vamos precisar entender como a corrente se comporta em um circuito RC quando submetido a uma tensão senoidal e como o ângulo de fase
influencia esse comportamento.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um circuito RC série alimentado por uma tensão senoidal, a corrente
pode ser expressa como:
onde:
-
é a amplitude da corrente, -
é o ângulo de fase entre a tensão e a corrente.
O ângulo de fase
em um circuito RC é dado por:
Substituindo os valores de
e
:
Passo 3
Para que a corrente atinja diretamente o regime permanente, devemos eliminar os termos transitórios que dependem da resposta inicial do capacitor. Isso acontece quando a fase inicial
é escolhida de forma que a resposta transiente se anule imediatamente.
Matematicamente, isso significa que a condição para eliminar o transiente é:
Resolvendo para
:
Passo 4
Substituindo o valor de
que calculamos:
No entanto, queremos o menor valor positivo de
que satisfaça essa condição. Como a função tangente é periódica com período
, o menor valor positivo de
que satisfaz
é exatamente esse valor.
Resposta
O menor valor positivo do ângulo
que faz a corrente atingir diretamente o regime permanente é aproximadamente
.