Ao se fechar o interruptor, no instante t=0, é aplicada uma tensão v(t)=100 cos (5 t+Phi)[V] a um circuito RC série, onde R=1 Omega e C=50 mF. Considere que o capacitor possui uma carga inicial de q0=1,0 C. Determinar:
a) o menor valor positivo do ângulo Phi no instante em que se fechar o interruptor para que a corrente atinja diretamente o regime permanente.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um circuito RC série onde:
  • Resistência,
  • Capacitância,
  • Tensão aplicada,
  • Carga inicial no capacitor,
Queremos encontrar o menor valor positivo do ângulo para que a corrente no circuito entre diretamente no regime permanente, ou seja, sem apresentar termos transitórios.
Para resolver isso, vamos precisar entender como a corrente se comporta em um circuito RC quando submetido a uma tensão senoidal e como o ângulo de fase influencia esse comportamento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um circuito RC série alimentado por uma tensão senoidal, a corrente i(t) = Im cos(5t + Phi - theta) pode ser expressa como:
theta = arctan(5RC)
onde:
  • theta = arctan(5 times 1 times 0,05) = arctan(0,25) approx 14,04^circ é a amplitude da corrente,
  • é o ângulo de fase entre a tensão e a corrente.
O ângulo de fase em um circuito RC é dado por:
Substituindo os valores de e :

Passo 3

Para que a corrente atinja diretamente o regime permanente, devemos eliminar os termos transitórios que dependem da resposta inicial do capacitor. Isso acontece quando a fase inicial Phi - theta = 0 é escolhida de forma que a resposta transiente se anule imediatamente.
Matematicamente, isso significa que a condição para eliminar o transiente é:
Phi = theta
Resolvendo para :

Passo 4

Substituindo o valor de Phi = 14,04^circ que calculamos:
No entanto, queremos o menor valor positivo de que satisfaça essa condição. Como a função tangente é periódica com período , o menor valor positivo de que satisfaz é exatamente esse valor.

Resposta

O menor valor positivo do ângulo que faz a corrente atingir diretamente o regime permanente é aproximadamente .

Exercícios relacionados