Um feirante deseja distribuir 576 goiabas, 432 laranjas e 504 maçãs entre várias famílias de um bairro carente. A exigência do feirante é que a distribuição seja feita de modo que cada família receba o mesmo e o menor número possível de frutas de uma mesma espécie. A quantidade total de frutas recebidas por cada família representa um número:.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala que um feirante quer distribuir 576 goiabas, 432 laranjas e 504 maçãs entre várias famílias de maneira que cada família receba a mesma quantidade de cada tipo de fruta, e que essa quantidade seja a menor possível. Para resolver isso, vamos precisar usar Máximo Divisor Comum (MDC), que nos ajuda a encontrar o maior número que divide todos os números dados sem deixar resto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Máximo Divisor Comum (MDC). O MDC de vários números é o maior número que divide todos eles exatamente. No nosso caso, queremos descobrir o maior número de famílias possível, de modo que cada família receba a mesma quantidade de cada tipo de fruta. Isso significa que o número de famílias deve ser um divisor comum de 576, 432 e 504.

Passo 3

Agora, vamos calcular o MDC de 576, 432 e 504. Para isso, podemos fatorar cada número em seus fatores primos:
  • 576:
    576 ÷ 2 = 288
    288 ÷ 2 = 144
    144 ÷ 2 = 72
    72 ÷ 2 = 36
    36 ÷ 2 = 18
    18 ÷ 2 = 9
    9 ÷ 3 = 3
    3 ÷ 3 = 1
    Então, 576 = 2^6 times 3^2
  • 432:
    432 ÷ 2 = 216
    216 ÷ 2 = 108
    108 ÷ 2 = 54
    54 ÷ 2 = 27
    27 ÷ 3 = 9
    9 ÷ 3 = 3
    3 ÷ 3 = 1
    Então, 432 = 2^4 times 3^3
  • 504:
    504 ÷ 2 = 252
    252 ÷ 2 = 126
    126 ÷ 2 = 63
    63 ÷ 3 = 21
    21 ÷ 3 = 7
    7 ÷ 7 = 1
    Então, 504 = 2^3 times 3^2 times 7

Passo 4

Com os fatores primos de cada número, o próximo passo é identificar os fatores comuns com os menores expoentes:
  • Para o 2: os menores expoentes são 3 (de 504).
  • Para o 3: os menores expoentes são 2 (de 576 e 504).
  • O 7 aparece apenas em 504, então não é comum aos três números.
Portanto, o MDC é 2^3 times 3^2 = 8 times 9 = 72.

Passo 5

Agora que sabemos que o MDC é 72, isso significa que o feirante pode distribuir as frutas para 72 famílias, garantindo que cada família receba a mesma quantidade de cada tipo de fruta, sendo essa quantidade a menor possível.

Resposta

Cada família receberá 72 frutas no total, distribuídas igualmente entre as famílias.

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