Um feixe de partículas com velocidade v entra em uma região com um campo magnético uniforme B que faz um pequeno ângulo theta com v. Mostre que após a partícula se mover uma distância
d=2 pi m v cos thetaq B
medida ao longo da direção de B, a velocidade da partícula está na mesma direção que estava quando ela entrou no campo magnético.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um feixe de partículas que está se movendo com uma velocidade v e entra em uma região onde existe um campo magnético uniforme B. Esse campo faz um pequeno ângulo theta com a velocidade das partículas. A tarefa é mostrar que, depois que a partícula percorre uma distância
d = 2 pi m v cos thetaq B
na direção do campo magnético B, a velocidade da partícula estará na mesma direção que estava quando entrou no campo magnético. Para resolver isso, vamos precisar entender como partículas se movem em campos magnéticos, especialmente o conceito de movimento circular e helicoidal.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a velocidade da partícula em duas componentes: uma paralela ao campo magnético ( vparal<=l) e outra perpendicular ao campo magnético ( vperp). Essa decomposição é útil porque o campo magnético não afeta a componente paralela da velocidade, apenas a perpendicular.
Matematicamente, temos:
vparal<=l = v cos theta
vperp = v sin theta

Passo 3

Agora, vamos focar na componente perpendicular da velocidade, vperp. Quando uma partícula carrega entra em um campo magnético, ela experimenta uma força perpendicular tanto à sua velocidade quanto ao campo. Essa força é dada pela força de Lorentz:
F = q v times B
Como a força é sempre perpendicular à velocidade, ela faz com que a partícula se mova em um movimento circular perpeto ao campo magnético.

Passo 4

O movimento circular possui um raio r e uma frequência angular omega. A frequência angular é dada por:
omega = q Bm
E o período do movimento circular, que é o tempo para completar uma volta completa, é:
T = 2 piomega = 2 pi mq B

Passo 5

Durante esse período T, a partícula também está se movendo na direção do campo magnético com velocidade vparal<=l. Portanto, a distância que ela percorre nessa direção em um período é:
d = vparal<=l times T = v cos theta times 2 pi mq B
Substituindo vparal<=l, temos:
d = 2 pi m v cos thetaq B

Resposta

Depois de percorrer a distância
d = 2 pi m v cos thetaq B
ao longo da direção do campo magnético B, a velocidade da partícula estará na mesma direção que estava quando entrou no campo magnético.

Exercícios relacionados