Para uma partícula que se movimenta em uma órbita circular, r=x r cos omega t+y r sen omega t, mostre que ddotr+omega^2 r=0 com ddotr=d vd t.
O raio re a velocidade angular omega são constantes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que, para uma partícula que se move em uma órbita circular definida por , a equação é válida, onde é a aceleração da partícula. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial e movimentos circulares para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a velocidade v = drdt = ddt( x, r cos omega t + y, r sin omega t ) da partícula, que é a derivada da posição em relação ao tempo. Vamos derivar cada componente de :

Passo 3

Derivando cada termo:
v = x, (-r omega sin omega t) + y, (r omega cos omega t)
Simplificando:
v = -r omega sin omega t, x + r omega cos omega t, y

Passo 4

Agora, vamos encontrar a aceleração ddotr = dvdt = ddt( -r omega sin omega t, x + r omega cos omega t, y ) , que é a derivada da velocidade em relação ao tempo:

Passo 5

Derivando cada termo novamente:
ddotr = -r omega^2 cos omega t, x - r omega^2 sin omega t, y

Passo 6

Observamos que ddotr = -omega^2 ( r cos omega t, x + r sin omega t, y ) = -omega^2 r pode ser escrito como:

Passo 7

Então, colocando tudo junto:
ddotr + omega^2 r = -omega^2 r + omega^2 r = 0

Resposta

Mostramos que para a partícula em movimento circular.

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