Para uma partícula que se movimenta em uma órbita circular,
, mostre que
com
.
O raio re a velocidade angular
são constantes.
O raio re a velocidade angular
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que, para uma partícula que se move em uma órbita circular definida por
, a equação
é válida, onde
é a aceleração da partícula. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial e movimentos circulares para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a velocidade
da partícula, que é a derivada da posição
em relação ao tempo. Vamos derivar cada componente de
:
Passo 3
Derivando cada termo:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a aceleração
, que é a derivada da velocidade
em relação ao tempo:
Passo 5
Derivando cada termo novamente:
Passo 6
Observamos que
pode ser escrito como:
Passo 7
Então, colocando tudo junto:
Resposta
Mostramos que
para a partícula em movimento circular.