A fenda do braço
impulsiona o pino
pela fenda espiral descrita pela equação
. Se a velocidade angular é constante em
, determine as componentes radiais e transversais da velocidade e aceleração do pino.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema onde a trajetória do pino
é uma fenda espiral descrita pela equação
. A velocidade angular
é constante. Nosso objetivo aqui é determinar as componentes radiais e transversais da velocidade e da aceleração do pino. Para resolver isso, vamos usar conceitos de coordenadas polares, que nos ajudam a quebrar a velocidade e a aceleração em componentes que apontam na direção radial (para dentro ou para fora) e na direção transversal (perpendicular à radial).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como expressar a velocidade em coordenadas polares. A velocidade
pode ser decomposta em duas partes:
Aqui,
é a derivada de
em relação ao tempo (ou seja, a velocidade radial) e
é a velocidade transversal. Como
, vamos encontrar
.
Passo 3
Derivando
em relação ao tempo:
Então, a velocidade radial
e a velocidade transversal
.
Passo 4
Agora, vamos para a aceleração. Em coordenadas polares, a aceleração
é dada por:
Como a velocidade angular
é constante,
. Vamos calcular cada termo.
Passo 5
Primeiro, calculamos
:
Então, a aceleração radial fica:
Para a aceleração transversal:
Resposta
As componentes radiais e transversais da velocidade e da aceleração do pino são: