A fenda do braço impulsiona o pino pela fenda espiral descrita pela equação . Se a velocidade angular é constante em , determine as componentes radiais e transversais da velocidade e aceleração do pino.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema onde a trajetória do pino é uma fenda espiral descrita pela equação . A velocidade angular é constante. Nosso objetivo aqui é determinar as componentes radiais e transversais da velocidade e da aceleração do pino. Para resolver isso, vamos usar conceitos de coordenadas polares, que nos ajudam a quebrar a velocidade e a aceleração em componentes que apontam na direção radial (para dentro ou para fora) e na direção transversal (perpendicular à radial).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como expressar a velocidade em coordenadas polares. A velocidade pode ser decomposta em duas partes:
Aqui, é a derivada de em relação ao tempo (ou seja, a velocidade radial) e é a velocidade transversal. Como , vamos encontrar .

Passo 3

Derivando em relação ao tempo:
Então, a velocidade radial e a velocidade transversal .

Passo 4

Agora, vamos para a aceleração. Em coordenadas polares, a aceleração é dada por:
Como a velocidade angular é constante, . Vamos calcular cada termo.

Passo 5

Primeiro, calculamos :
Então, a aceleração radial fica:
Para a aceleração transversal:

Resposta

As componentes radiais e transversais da velocidade e da aceleração do pino são:
çã
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