A fenda do braço A B impulsiona o pino C pela fenda espiral descrita pela equação r=a theta. Se a velocidade angular é constante em dottheta, determine as componentes radiais e transversais da velocidade e aceleração do pino.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema onde a trajetória do pino C é uma fenda espiral descrita pela equação r = a theta. A velocidade angular dottheta é constante. Nosso objetivo aqui é determinar as componentes radiais e transversais da velocidade e da aceleração do pino. Para resolver isso, vamos usar conceitos de coordenadas polares, que nos ajudam a quebrar a velocidade e a aceleração em componentes que apontam na direção radial (para dentro ou para fora) e na direção transversal (perpendicular à radial).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como expressar a velocidade em coordenadas polares. A velocidade v pode ser decomposta em duas partes:
v = dotr , er + r dottheta , etheta
Aqui, dotr é a derivada de r em relação ao tempo (ou seja, a velocidade radial) e r dottheta é a velocidade transversal. Como r = a theta, vamos encontrar dotr.

Passo 3

Derivando r = a theta em relação ao tempo:
dotr = ddt(a theta) = a dottheta
Então, a velocidade radial dotr = a dottheta e a velocidade transversal r dottheta = a theta dottheta.

Passo 4

Agora, vamos para a aceleração. Em coordenadas polares, a aceleração a é dada por:
a = (ddotr - r dottheta^2) , er + (r ddottheta + 2 dotr dottheta) , etheta
Como a velocidade angular dottheta é constante, ddottheta = 0. Vamos calcular cada termo.

Passo 5

Primeiro, calculamos ddotr:
ddotr = ddt(dotr) = ddt(a dottheta) = a ddottheta = 0
Então, a aceleração radial fica:
ar = ddotr - r dottheta^2 = 0 - a theta dottheta^2 = -a theta dottheta^2
Para a aceleração transversal:
atheta = r ddottheta + 2 dotr dottheta = a theta cdot 0 + 2 cdot a dottheta cdot dottheta = 2 a dottheta^2

Resposta

As componentes radiais e transversais da velocidade e da aceleração do pino são:
Velocidade radial: vr = a dottheta
Velocidade transversal: vtheta = a theta dottheta
Ace<=ração radial: ar = -a theta dottheta^2 çã
Ace<=ração transversal: atheta = 2 a dottheta^2 çã

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