Resolva o Problema 12.188 se a came tiver uma aceleração angular de ddottheta=2 rad / s^2 quando sua velocidade angular é dottheta=4 rad / s em theta=30^circ.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma came que está girando com uma aceleração angular quando sua velocidade angular é e está no ângulo . Vamos usar conceitos de cinemática rotacional, que envolve movimentos de rotação, para resolver este problema. Vamos precisar entender como relacionar aceleração angular, velocidade angular e posição angular.

Passo 2

Primeiro, vamos converter o ângulo de graus para radianos, já que as equações de movimento geralmente usam radianos. Sabemos que theta = 30^circ times ( pi180^circ ) = pi6 , rad , então:

Passo 3

Agora, vamos lembrar das equações básicas da cinemática rotacional. Uma das principais é a equação que relaciona a velocidade angular ( dottheta = dottheta0 + ddottheta cdot t ), a aceleração angular ( theta = theta0 + dottheta0 cdot t + 12 ddottheta cdot t^2 ) e o tempo ( ):
Como queremos encontrar uma relação entre esses valores no instante em que , podemos usar a equação da posição angular:

Passo 4

Vamos supor que no instante inicial ( theta = 12 ddottheta cdot t^2 ), a posição angular dottheta = ddottheta cdot t e a velocidade angular inicial . Isso simplifica as equações para:
E

Passo 5

Queremos encontrar o tempo 4 = 2 cdot t implies t = 2 , s quando a velocidade angular . Usando a segunda equação:

Passo 6

Agora, vamos verificar se nesse tempo o ângulo theta = 12 cdot 2 cdot (2)^2 = 12 cdot 2 cdot 4 = 4 , rad alcança ( ):
Óbvio que é muito maior que , então algo está errado na nossa suposição inicial.

Passo 7

Vamos reconsiderar. Talvez a velocidade angular de não seja atingida a partir do repouso, mas sim quando já está em movimento a partir de um certo ponto. Nesse caso, precisamos de mais informações sobre a condição inicial.
Entretanto, com os dados fornecidos, podemos relacionar a aceleração angular e a velocidade angular para encontrar o momento exato em que .

Passo 8

Vamos usar a relação entre velocidade angular, aceleração angular e posição angular sem considerar condições iniciais específicas:
ddottheta = ddotthetadt
E
dottheta = dthetadt
Mas para conectar e diretamente com , precisamos integrar ou usar relações mais avançadas, o que provavelmente está além do escopo deste exercício.

Resposta

Com as informações fornecidas, identificamos que a aceleração angular é constante e, ao relacionar a velocidade angular e a posição angular, percebemos que há inconsistências sem condições iniciais adicionais. Portanto, para resolver completamente o problema, seriam necessárias informações adicionais, como a posição ou velocidade angular inicial.

Exercícios relacionados