(50%) - O estado de tensão num ponto é dado por sigma11=140 N / mm^2, sigma22=-70 N / mm^2, e sigma12=60 N / mm^2. Se a tensão de cedência do material, obtida num ensaio de tração for sigmay=225 N / mm^2, verifique a segurança com os critérios de Tresca e de Von Mises.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. Temos um ponto com certos estados de tensão: sigma11=140 N / mm^2, sigma22=-70 N / mm^2 e sigma12=60 N / mm^2. A tensão de cedência do material, que é tipo a resistência máxima antes de deformar, é sigmay=225 N / mm^2. Nosso objetivo aqui é verificar se esse material está seguro utilizando dois critérios de falha: o de Tresca e o de Von Mises.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre tensões principais e os critérios de falha mencionados. Vamos resolver passo a passo para facilitar o entendimento!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as tensões principais nesse ponto. As tensões principais são as tensões máximas e mínimas que ocorrem em direções específicas onde as tensões cortantes são nulas. Para descobrir isso, usamos as fórmulas das tensões principais em termos das componentes dadas:
sigma1,2 = sigma11 + sigma222 pm raiz(sigma11 - sigma222)^2 + sigma12^2
Substituindo os valores:
sigma1,2 = 140 + (-70)2 pm raiz(140 - (-70)2)^2 + 60^2
Vamos calcular isso para encontrar as tensões principais.

Passo 3

Vamos calcular passo a passo:
  1. Média das tensões normais:
140 + (-70)2 = 702 = 35 N/mm^2
  1. Diferença das tensões normais dividida por 2:
140 - (-70)2 = 2102 = 105 N/mm^2
  1. Agora, calculamos a parte de dentro da raiz quadrada:
(105)^2 + 60^2 = 11025 + 3600 = 14625
  1. Raiz quadrada de 14625:
raiz14625 = 121 N/mm^2
  1. Finalmente, as tensões principais são:
sigma1 = 35 + 121 = 156 N/mm^2
sigma2 = 35 - 121 = -86 N/mm^2

Passo 4

Agora que temos as tensões principais, vamos aplicar os critérios de Tresca e Von Mises para verificar a segurança.
Critério de Tresca:
Esse critério diz que a falha ocorre quando a diferença máxima entre as tensões principais excede a tensão de cedência. Ou seja:
|sigma1 - sigma2| <= sigmay
Substituindo nossos valores:
|156 - (-86)| = 242 N/mm^2 <= 225 N/mm^2
Como 242 é maior que 225, o critério de Tresca indica que o material não está seguro.
Critério de Von Mises:
Esse critério calcula uma tensão equivalente e verifica se ela é menor que a tensão de cedência. A fórmula é:
sigmaequiv = raiz(sigma1 - sigma2)^2 + (sigma2 - sigma3)^2 + (sigma3 - sigma1)^22
Como temos sigma3 = 0 (para estado bidimensional), simplificamos para:
sigmaequiv = raiz(sigma1 - sigma2)^2 + sigma1^2 + sigma2^22
Substituindo:
sigmaequiv = raiz(156 - (-86))^2 + 156^2 + (-86)^22 = raiz242^2 + 156^2 + 86^22 = raiz58564 + 24336 + 73962 = raiz902962 = raiz45148 approx 212.5 N/mm^2
Comparando com a tensão de cedência:
212.5 N/mm^2 <= 225 N/mm^2
Então, segundo o critério de Von Mises, o material está seguro.

Resposta

Segundo o critério de Tresca, o material não está seguro porque a diferença máxima de tensões (242 N/mm²) excede a tensão de cedência (225 N/mm²). Já pelo critério de Von Mises, o material está seguro já que a tensão equivalente (aproximadamente 212.5 N/mm²) é menor que a tensão de cedência.

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