(20%) - Considere uma mudança de configuração de um corpo estrutural dada pela transformação:
em que
são as componentes do vetor de posição de um ponto na configuração inicial e
são as componentes do vetor de posição do mesmo ponto na configuração final. Para esta transformação calcule:
a) A matriz do jacobiano da transformação, ou seja, do gradiente da transformação
b) O vetor das componentes do deslocamento
c) A matriz do gradiente dos deslocamentos
. Verifique que
em que
é matriz identidade
d) A matriz do tensor das deformações infinitesimais
e) A matriz do tensor das deformações de Lagrange
f) A distância entre os pontos
e
, na configuração inicial e na configuração final
a) A matriz do jacobiano da transformação, ou seja, do gradiente da transformação
b) O vetor das componentes do deslocamento
c) A matriz do gradiente dos deslocamentos
d) A matriz do tensor das deformações infinitesimais
e) A matriz do tensor das deformações de Lagrange
f) A distância entre os pontos
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de transformação de posições em um corpo estrutural, envolvendo conceitos de cálculo vetorial e mecânica dos sólidos. Vamos precisar calcular a matriz jacobiana, vetores de deslocamento, gradientes, tensores de deformação e distâncias entre pontos antes e depois da transformação. Vamos por partes!
Passo 2
a) Calculando a matriz jacobiana da transformação
Primeiro, a matriz jacobiana
é o gradiente da transformação que relaciona as coordenadas iniciais
com as finais
. Dada a transformação:
Para construir
, derivamos cada
em relação a cada
:
Calculando as derivadas:
Então, a matriz jacobiana
é:
Passo 3
b) Determinando o vetor das componentes do deslocamento
O vetor de deslocamento
representa a diferença entre as posições finais e iniciais. Ou seja:
Aplicando as transformações dadas:
Portanto, o vetor de deslocamento é:
Passo 4
c) Calculando a matriz do gradiente dos deslocamentos
e verificando que
A matriz do gradiente dos deslocamentos
é formada pelas derivadas de
em relação a
:
Calculando as derivadas:
Então,
A matriz identidade
é:
Agora, somando
:
Então, verificamos que
.
Passo 5
d) Encontrando a matriz do tensor das deformações infinitesimais
O tensor das deformações infinitesimais
é dado por:
Primeiro, temos
:
A transposta de
,
, é:
Agora, somando
:
Então,
Passo 6
e) Calculando a matriz do tensor das deformações de Lagrange
O tensor de deformações de Lagrange
é definido por:
Primeiro, calculamos
:
Multiplicando
por
:
Agora, subtraindo a matriz identidade
:
Finalmente,
Passo 7
f) Calculando a distância entre os pontos
e
na configuração inicial e final
Primeiro, na configuração inicial, a distância entre
e
é dada pela fórmula da distância euclidiana:
Agora, na configuração final, precisamos encontrar as novas posições dos pontos após a transformação.
Para
:
Então,
.
Para
:
Então,
.
Agora, calculamos a distância na configuração final:
Resposta
a)
b)
c)
e
d)
e)
f)
e
Exercícios relacionados
(50%) - O estado de tensão num ponto é dado por
, e
. Se a tensão de cedência do material, obtida num ensaio de tração for
, verifique a segurança com os critérios de Tresca e de Von Mises.
4.130. Se
e
, represente o sistema de forças que age sobre as mísulas por uma força resultante e especifique sua posição no plano
.
A fenda do braço
impulsiona o pino
pela fenda espiral descrita pela equação
. Se a velocidade angular é constante em
, determine as componentes radiais e transversais da velocidade e aceleração do pino.
Resolva o Problema 12.188 se a came tiver uma aceleração angular de
quando sua velocidade angular é
em
.