(20%) - Considere uma mudança de configuração de um corpo estrutural dada pela transformação:
em que são as componentes do vetor de posição de um ponto na configuração inicial e são as componentes do vetor de posição do mesmo ponto na configuração final. Para esta transformação calcule:
a) A matriz do jacobiano da transformação, ou seja, do gradiente da transformação
b) O vetor das componentes do deslocamento
c) A matriz do gradiente dos deslocamentos . Verifique que em que é matriz identidade
d) A matriz do tensor das deformações infinitesimais
e) A matriz do tensor das deformações de Lagrange
f) A distância entre os pontos e , na configuração inicial e na configuração final

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de transformação de posições em um corpo estrutural, envolvendo conceitos de cálculo vetorial e mecânica dos sólidos. Vamos precisar calcular a matriz jacobiana, vetores de deslocamento, gradientes, tensores de deformação e distâncias entre pontos antes e depois da transformação. Vamos por partes!

Passo 2

a) Calculando a matriz jacobiana da transformação
Primeiro, a matriz jacobiana é o gradiente da transformação que relaciona as coordenadas iniciais com as finais . Dada a transformação:
Para construir , derivamos cada em relação a cada :
Calculando as derivadas:
Então, a matriz jacobiana é:

Passo 3

b) Determinando o vetor das componentes do deslocamento
O vetor de deslocamento representa a diferença entre as posições finais e iniciais. Ou seja:
Aplicando as transformações dadas:
Portanto, o vetor de deslocamento é:

Passo 4

c) Calculando a matriz do gradiente dos deslocamentos e verificando que
A matriz do gradiente dos deslocamentos é formada pelas derivadas de em relação a :
Calculando as derivadas:
Então,
A matriz identidade é:
Agora, somando :
Então, verificamos que .

Passo 5

d) Encontrando a matriz do tensor das deformações infinitesimais
O tensor das deformações infinitesimais é dado por:
Primeiro, temos :
A transposta de , , é:
Agora, somando :
Então,

Passo 6

e) Calculando a matriz do tensor das deformações de Lagrange
O tensor de deformações de Lagrange é definido por:
Primeiro, calculamos :
Multiplicando por :
Agora, subtraindo a matriz identidade :
Finalmente,

Passo 7

f) Calculando a distância entre os pontos e na configuração inicial e final
Primeiro, na configuração inicial, a distância entre e é dada pela fórmula da distância euclidiana:
Agora, na configuração final, precisamos encontrar as novas posições dos pontos após a transformação.
Para :
Então, .
Para :
Então, .
Agora, calculamos a distância na configuração final:

Resposta

a)
b)
c) e
d)
e)
f) e

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