(20%) - Considere uma mudança de configuração de um corpo estrutural dada pela transformação:
x1=X1+X2 e x2=X2
em que Xi são as componentes do vetor de posição de um ponto na configuração inicial e xi são as componentes do vetor de posição do mesmo ponto na configuração final. Para esta transformação calcule:
a) A matriz do jacobiano da transformação, ou seja, do gradiente da transformação F
b) O vetor das componentes do deslocamento ui
c) A matriz do gradiente dos deslocamentos J. Verifique que F=J+I em que I é matriz identidade
d) A matriz do tensor das deformações infinitesimais varepsilon
e) A matriz do tensor das deformações de Lagrange L
f) A distância entre os pontos P(0,0) e Q(1,1), na configuração inicial e na configuração final

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de transformação de posições em um corpo estrutural, envolvendo conceitos de cálculo vetorial e mecânica dos sólidos. Vamos precisar calcular a matriz jacobiana, vetores de deslocamento, gradientes, tensores de deformação e distâncias entre pontos antes e depois da transformação. Vamos por partes!

Passo 2

a) Calculando a matriz jacobiana da transformação x1 = X1 + X2 e x2 = X2
Primeiro, a matriz jacobiana F = partial x1partial X1 & partial x1partial X2 partial x2partial X1 & partial x2partial X2 é o gradiente da transformação que relaciona as coordenadas iniciais partial x1partial X1 = 1, partial x1partial X2 = 1 com as finais partial x2partial X1 = 0, partial x2partial X2 = 1 . Dada a transformação:
F = 1 & 1 0 & 1
Para construir , derivamos cada em relação a cada :
Calculando as derivadas:
Então, a matriz jacobiana é:

Passo 3

b) Determinando o vetor das componentes do deslocamento ui = xi - Xi
O vetor de deslocamento u1 = x1 - X1 = (X1 + X2) - X1 = X2 representa a diferença entre as posições finais e iniciais. Ou seja:
u2 = x2 - X2 = X2 - X2 = 0
Aplicando as transformações dadas:
u = X2 0
Portanto, o vetor de deslocamento é:

Passo 4

c) Calculando a matriz do gradiente dos deslocamentos J = partial u1partial X1 & partial u1partial X2 partial u2partial X1 & partial u2partial X2 e verificando que partial u1partial X1 = partial X2partial X1 = 0, partial u1partial X2 = partial X2partial X2 = 1
A matriz do gradiente dos deslocamentos partial u2partial X1 = 0, partial u2partial X2 = 0 é formada pelas derivadas de J = 0 & 1 0 & 0 em relação a I = 1 & 0 0 & 1 :
J + I = 0 & 1 0 & 0 + 1 & 0 0 & 1 = 1 & 1 0 & 1 = F
Calculando as derivadas:
Então,
A matriz identidade é:
Agora, somando :
Então, verificamos que .

Passo 5

d) Encontrando a matriz do tensor das deformações infinitesimais varepsilon = 12(J + J^T)
O tensor das deformações infinitesimais J = 0 & 1 0 & 0 é dado por:
J^T = 0 & 0 1 & 0
Primeiro, temos J + J^T = 0 & 1 1 & 0 :
varepsilon = 12 0 & 1 1 & 0 = 0 & 12 12 & 0
A transposta de , , é:
Agora, somando :
Então,

Passo 6

e) Calculando a matriz do tensor das deformações de Lagrange L = 12(F^T F - I)
O tensor de deformações de Lagrange F^T = 1 & 0 1 & 1 é definido por:
F^T F = 1 & 0 1 & 1 1 & 1 0 & 1 = 1 cdot 1 + 0 cdot 0 & 1 cdot 1 + 0 cdot 1 1 cdot 1 + 1 cdot 0 & 1 cdot 1 + 1 cdot 1 = 1 & 1 1 & 2
Primeiro, calculamos F^T F - I = 1 & 1 1 & 2 - 1 & 0 0 & 1 = 0 & 1 1 & 1 :
L = 12 0 & 1 1 & 1 = 0 & 12 12 & 12
Multiplicando por :
Agora, subtraindo a matriz identidade :
Finalmente,

Passo 7

f) Calculando a distância entre os pontos dinicial = raiz(1 - 0)^2 + (1 - 0)^2 = raiz1 + 1 = raiz2 e x1 = 0 + 0 = 0 x2 = 0 na configuração inicial e final
Primeiro, na configuração inicial, a distância entre x1 = 1 + 1 = 2 x2 = 1 e dfinal = raiz(2 - 0)^2 + (1 - 0)^2 = raiz4 + 1 = raiz5 é dada pela fórmula da distância euclidiana:
Agora, na configuração final, precisamos encontrar as novas posições dos pontos após a transformação.
Para :
Então, .
Para :
Então, .
Agora, calculamos a distância na configuração final:

Resposta

a) 1 & 1 0 & 1
b) X2 0
c) 0 & 1 0 & 0 e 0 & 12 12 & 0
d) 0 & 12 12 & 12
e)
f) e

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