O ferro tem estrutura cúbica de corpo centrado a temperatura ambiente. Calcule o parâmetro de rede e o fator de empacotamento atômico para o ferro nestas condições.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o ferro que tem uma estrutura cúbica de corpo centrado (CCC) à temperatura ambiente. O que a gente precisa fazer aqui é calcular dois valores importantes: o parâmetro de rede, que é basicamente a dimensão da célula unitária do cristal, e o fator de empacotamento atômico, que nos mostra quão bem os átomos estão empacotados nessa estrutura. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre estruturas cristalinas, especificamente a estrutura cúbica de corpo centrado, e usar algumas fórmulas matemáticas para calcular esses valores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a estrutura cúbica de corpo centrado (CCC). Nessa estrutura, temos um átomo no centro do cubo e um átomo em cada um dos oito vértices do cubo. No entanto, cada átomo de vértice é compartilhado por oito cubos adjacentes, então, efetivamente, cada célula unitária da CCC tem 2 átomos (1 do centro + 8 vértices × 1/8).

Passo 3

Agora, vamos estabelecer a relação entre o parâmetro de rede $ a $ e o raio atômico $ r $ na estrutura CCC. Se você imaginar uma aresta do cubo, ela passa por quatro raios atômicos (do vértice até o centro e depois até o outro vértice). A distância entre dois centros de átomos adjacentes na aresta é $ 4r $.
Além disso, na estrutura CCC, a diagonal do corpo do cubo também pode ser expressa em termos do parâmetro de rede. Pela geometria do cubo, a diagonal do corpo é $ a\sqrt{3} $. Essa diagonal também corresponde a dois raios atômicos mais o diâmetro do átomo central, somando $ 4r $.
Então, temos:
a

Passo 4

Vamos resolver essa equação para encontrar o parâmetro de rede $ a $:
a
Essa fórmula nos mostra como o parâmetro de rede está relacionado ao raio atômico na estrutura cúbica de corpo centrado.

Passo 5

Agora, vamos calcular o fator de empacotamento atômico (F.E.A.), que indica a fração do volume da célula unitária que é ocupada pelos átomos. A fórmula geral para o F.E.A. é:
FEA = Volume dos átomos na célula unitáriaVolume da célula unitária áéáéá

Passo 6

Primeiro, vamos calcular o volume total dos átomos na célula unitária. Como temos 2 átomos por célula unitária na CCC, e o volume de um átomo (esfera) é $ \frac{4}{3}\pi r^3 $, então:
43pi r^3 á

Passo 7

O volume da célula unitária cúbica é simplesmente $ a^3 $. Usando a relação que encontramos anteriormente $ a = \frac{4r}{\sqrt{3}} $, podemos substituir:
a^3 é

Passo 8

Agora, substituímos os valores na fórmula do F.E.A.:
FEA = 83pi r^364r^33raiz3 = 8pi64/raiz3 = 8pi raiz364 = pi raiz38

Passo 9

Calculando o valor numérico:
FEA = pi raiz38 approx 3.1416 times 1.7328 approx 5.44148 approx 0.6802
Convertendo para porcentagem:
FEA approx 68.02%

Resposta

O parâmetro de rede para o ferro com estrutura cúbica de corpo centrado é $ a = \frac{4r}{\sqrt{3}} $, e o fator de empacotamento atômico é aproximadamente 68%.

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