O ferro tem estrutura cúbica de corpo centrado a temperatura ambiente. Calcule o parâmetro de rede e o fator de empacotamento atômico para o ferro nestas condições.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o ferro que tem uma estrutura cúbica de corpo centrado (CCC) à temperatura ambiente. O que a gente precisa fazer aqui é calcular dois valores importantes: o parâmetro de rede, que é basicamente a dimensão da célula unitária do cristal, e o fator de empacotamento atômico, que nos mostra quão bem os átomos estão empacotados nessa estrutura. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre estruturas cristalinas, especificamente a estrutura cúbica de corpo centrado, e usar algumas fórmulas matemáticas para calcular esses valores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a estrutura cúbica de corpo centrado (CCC). Nessa estrutura, temos um átomo no centro do cubo e um átomo em cada um dos oito vértices do cubo. No entanto, cada átomo de vértice é compartilhado por oito cubos adjacentes, então, efetivamente, cada célula unitária da CCC tem 2 átomos (1 do centro + 8 vértices × 1/8).
Passo 3
Agora, vamos estabelecer a relação entre o parâmetro de rede $ a $ e o raio atômico $ r $ na estrutura CCC. Se você imaginar uma aresta do cubo, ela passa por quatro raios atômicos (do vértice até o centro e depois até o outro vértice). A distância entre dois centros de átomos adjacentes na aresta é $ 4r $.
Além disso, na estrutura CCC, a diagonal do corpo do cubo também pode ser expressa em termos do parâmetro de rede. Pela geometria do cubo, a diagonal do corpo é $ a\sqrt{3} $. Essa diagonal também corresponde a dois raios atômicos mais o diâmetro do átomo central, somando $ 4r $.
Então, temos:
Passo 4
Vamos resolver essa equação para encontrar o parâmetro de rede $ a $:
Essa fórmula nos mostra como o parâmetro de rede está relacionado ao raio atômico na estrutura cúbica de corpo centrado.
Passo 5
Agora, vamos calcular o fator de empacotamento atômico (F.E.A.), que indica a fração do volume da célula unitária que é ocupada pelos átomos. A fórmula geral para o F.E.A. é:
Passo 6
Primeiro, vamos calcular o volume total dos átomos na célula unitária. Como temos 2 átomos por célula unitária na CCC, e o volume de um átomo (esfera) é $ \frac{4}{3}\pi r^3 $, então:
Passo 7
O volume da célula unitária cúbica é simplesmente $ a^3 $. Usando a relação que encontramos anteriormente $ a = \frac{4r}{\sqrt{3}} $, podemos substituir:
Passo 8
Agora, substituímos os valores na fórmula do F.E.A.:
Passo 9
Calculando o valor numérico:
Convertendo para porcentagem:
Resposta
O parâmetro de rede para o ferro com estrutura cúbica de corpo centrado é $ a = \frac{4r}{\sqrt{3}} $, e o fator de empacotamento atômico é aproximadamente 68%.