Given a vector function
.
a) Determine the constants
, and
if
is irrotational.
b) Determine the constant
if
is also solenoidal.
c) Determine the scalar potential function
whose negative gradient equals
.
a) Determine the constants
b) Determine the constant
c) Determine the scalar potential function
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função vetorial
e precisamos encontrar os valores das constantes
,
, e
para que
seja irrotacional.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função vetorial ser irrotacional. Uma função é irrotacional se o seu rotacional (ou curl) for igual a zero. O rotacional de
é dado por:
Nosso objetivo é que cada componente desse rotacional seja igual a zero.
Passo 3
Vamos identificar as componentes de
:
Agora, vamos calcular as derivadas necessárias para o rotacional.
Passo 4
Calculando
e
:
Então, a componente
do rotacional é:
Para que
seja irrotacional, essa componente deve ser zero:
Passo 5
Agora, calculamos
e
:
A componente
do rotacional é:
Configurando para zero:
Passo 6
Por último, calculamos
e
:
A componente
do rotacional é:
E para ser zero:
Resposta
Os valores das constantes que tornam
irrotacional são: