Given a vector function F=ax(x+c1 z)+ay(c2 x-3 z)+az(x+c3 y+c4 z).
a) Determine the constants c1, c2, and c3 if F is irrotational.
b) Determine the constant c4 if F is also solenoidal.
c) Determine the scalar potential function V whose negative gradient equals F.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função vetorial e precisamos encontrar os valores das constantes , , e para que seja irrotacional.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função vetorial ser irrotacional. Uma função é irrotacional se o seu rotacional (ou curl) for igual a zero. O rotacional de nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z ) ax + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x ) ay + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) az é dado por:
Nosso objetivo é que cada componente desse rotacional seja igual a zero.

Passo 3

Vamos identificar as componentes de Fx = x + c1 z, Fy = c2 x - 3 z, Fz = x + c3 y + c4 z :
Agora, vamos calcular as derivadas necessárias para o rotacional.

Passo 4

Calculando partial Fzpartial y = c3, partial Fypartial z = -3 e c3 - (-3) = c3 + 3 :
c3 + 3 = 0 implies c3 = -3
Então, a componente do rotacional é:
Para que seja irrotacional, essa componente deve ser zero:

Passo 5

Agora, calculamos partial Fxpartial z = c1, partial Fzpartial x = 1 e c1 - 1 :
c1 - 1 = 0 implies c1 = 1
A componente do rotacional é:
Configurando para zero:

Passo 6

Por último, calculamos partial Fypartial x = c2, partial Fxpartial y = 0 e c2 - 0 = c2 :
c2 = 0
A componente do rotacional é:
E para ser zero:

Resposta

Os valores das constantes que tornam c1 = 1, c2 = 0, c3 = -3 irrotacional são:

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