Fig. abaixo mostra a aceleração de uma partícula de
sob a ação de uma força
. que desloca a partícula ao longo de um eixo
, a partir do repouso, de
a
. A escala vertical do gráfico é definida por
. Qual é o trabalho realizado pela força sobre a partícula até a partícula atingir o ponto (a)
, (b)
e ©
? Quais são o módulo e o sentido da velocidade da partícula quando ela atinge o ponto (d)
, (b)
e©
?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula de 2,00 kg que está sendo empurrada por uma força
ao longo de um eixo
, começando do repouso no ponto
até
. O gráfico dado mostra a aceleração
em função de
, com uma escala vertical de
.
Conteúdo da matéria: Vamos usar conceitos de trabalho, energia e movimento com aceleração variável.
O que precisamos: Saber como calcular o trabalho realizado por uma força quando a aceleração varia com a posição e como determinar a velocidade da partícula em diferentes pontos.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como a aceleração varia com
a partir do gráfico. A escala vertical é
, então cada unidade no gráfico vertical representa
.
Vamos supor que a aceleração
seja uma função linear de
, já que não temos o gráfico real. Por exemplo, se o gráfico for uma linha reta, podemos escrever
, onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 3
Agora, para encontrar o trabalho realizado pela força
até cada ponto
, usamos a definição de trabalho:
Mas como não temos
diretamente, vamos usar a segunda lei de Newton:
Substituindo na equação do trabalho:
Passo 4
Precisamos agora encontrar
. Se assumirmos que
, precisamos determinar
. Supondo que no ponto
a aceleração seja
:
Então,
.
Passo 5
Agora, substituímos
na equação do trabalho:
Calculando a integral:
Então,
Passo 6
Substituindo o valor da massa
:
Agora, vamos calcular o trabalho para cada ponto solicitado.
Passo 7
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 8
Agora, vamos determinar a velocidade da partícula nos pontos
,
e
.
Sabemos que o trabalho realizado é igual à variação da energia cinética:
Então,
Passo 9
Calculando a velocidade para cada ponto:
Para
:
Para
:
Para
:
Resposta
(a) O trabalho realizado até
é aproximadamente
e a velocidade é
.
(b) O trabalho realizado até
é aproximadamente
e a velocidade é
.
© O trabalho realizado até
é
e a velocidade é
.
Exercícios relacionados
Uma bola é lançada verticalmente de uma mesma altura em relação ao solo em duas situações. Na situação A , a velocidade inicial
tem sentido para cima e na situação
, a velocidade inicial
tem sentido para baixo. A relação entre os módulos das velocidades iniciais é
. Desprezando a resistência do ar, é correto afirmar que:
Escolha uma opção
a. A bola chega ao solo com mesma velocidade nas duas situações.
b. Não é possível determinar em qual situação a bola chega ao solo com maior velocidade, pois a altura não é conhecida.
c. A bola chega ao solo com velocidade de módulo maior na situação B.
d. Não é possível determinar em qual situação a bola chega ao solo com maior velocidade, pois as velocidades iniciais não são conhecidas.
e. A bola chega ao solo com velocidade de módulo maior na situação A.
Na situação A, a bola retorna ao ponto de partida com o velocidade igual ao início do seu movimento, mas apontando para baixo. Logo, terá a mesma velocidade menor quando atingir o solo do que a situação .
A resposta correta é: A bola chega ao solo com velocidade de módulo maior na situação B.
Escolha uma opção
a. A bola chega ao solo com mesma velocidade nas duas situações.
b. Não é possível determinar em qual situação a bola chega ao solo com maior velocidade, pois a altura não é conhecida.
c. A bola chega ao solo com velocidade de módulo maior na situação B.
d. Não é possível determinar em qual situação a bola chega ao solo com maior velocidade, pois as velocidades iniciais não são conhecidas.
e. A bola chega ao solo com velocidade de módulo maior na situação A.
Na situação A, a bola retorna ao ponto de partida com o velocidade igual ao início do seu movimento, mas apontando para baixo. Logo, terá a mesma velocidade menor quando atingir o solo do que a situação
A resposta correta é: A bola chega ao solo com velocidade de módulo maior na situação B.
Um estudante observa um livro em repouso sobre uma mesa horizontal e faz as seguintes afirmações:
I. O livro está em repouso pois nenhuma força atua sobre ele.
II. A mesa exerce uma força normal de contato sobre o livro que forma um par de forças da terceira lei de Newton com o peso do livro.
III. O livro exerce uma força sobre a mesa de mesmo módulo, mesma direção e sentido oposto à força normal da mesa sobre o livro.
IV. O par de forças da terceira lei de Newton formado pelas forças de contato entre a mesa e o livro têm mesma direção e sentidos opostos. Portanto, elas se cancelam e não influenciam a dinâmica do livro.
Quais afirmações são totalmente verdadeiras?
a. Apenas III
b. Apenas I
c. Apenas II
d. Ie IV
e. Apenas IV
A afirmação I está errada pois duas forças atuam sobre o livro: a força peso e a força normal que a mesa aplica no livro. O livro encontra-se em repouso pois o peso e a normal se equilibram no caso de uma mesa horizontal e a resultante das forças que atuam no livro é nula.
A afirmação II está incorreta pois peso e normal não constituem um par de forças ação-reação. Lembre-se que ação e reação nunca atuam no mesmo corpo. Por esse mesmo motivo, a afirmação IV está errada. Já que pares ação-reação não atuam no mesmo corpo, elas jamais poderiam se cancelar no diagrama de corpo livre do livro.
A resposta correta é: Apenas III
I. O livro está em repouso pois nenhuma força atua sobre ele.
II. A mesa exerce uma força normal de contato sobre o livro que forma um par de forças da terceira lei de Newton com o peso do livro.
III. O livro exerce uma força sobre a mesa de mesmo módulo, mesma direção e sentido oposto à força normal da mesa sobre o livro.
IV. O par de forças da terceira lei de Newton formado pelas forças de contato entre a mesa e o livro têm mesma direção e sentidos opostos. Portanto, elas se cancelam e não influenciam a dinâmica do livro.
Quais afirmações são totalmente verdadeiras?
a. Apenas III
b. Apenas I
c. Apenas II
d. Ie IV
e. Apenas IV
A afirmação I está errada pois duas forças atuam sobre o livro: a força peso e a força normal que a mesa aplica no livro. O livro encontra-se em repouso pois o peso e a normal se equilibram no caso de uma mesa horizontal e a resultante das forças que atuam no livro é nula.
A afirmação II está incorreta pois peso e normal não constituem um par de forças ação-reação. Lembre-se que ação e reação nunca atuam no mesmo corpo. Por esse mesmo motivo, a afirmação IV está errada. Já que pares ação-reação não atuam no mesmo corpo, elas jamais poderiam se cancelar no diagrama de corpo livre do livro.
A resposta correta é: Apenas III
No Problema anterior, qual é a velocidade do carro (a) no ponto A, (b) no ponto B e © no ponto C? (d) Que altura o carro alcança na última elevação, que é alta demais para ser transposta? (e) Se o carro tivesse uma massa duas vezes maior, quais seriam as respostas dos itens (a) a (d)?
O pêndulo balístico era usado para medir a velocidade dos projéteis quando não havia sensores eletrônicos. A versão mostrada na Fig. abaixo é composta por um grande bloco de madeira de massa M = 5,4 kg pendurado em duas cordas compridas. Uma bala de massa
é disparada contra o bloco e fica incrustada na madeira. Com o impulso, o pêndulo descreve um arco de circunferência, fazendo com que o centro de massa do sistema bloco-bala atinja uma altura máxima
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