Fig. abaixo mostra a aceleração de uma partícula de 2,00 kg sob a ação de uma força F. que desloca a partícula ao longo de um eixo x, a partir do repouso, de x=0 a x=9,0 m. A escala vertical do gráfico é definida por ay=6,0 m / s^2. Qual é o trabalho realizado pela força sobre a partícula até a partícula atingir o ponto (a) x=4,0 m, (b) x=7,0 m e © x=9,0 m ? Quais são o módulo e o sentido da velocidade da partícula quando ela atinge o ponto (d) x=4,0 m, (b) x=7,0 m x=9,0 m ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula de 2,00 kg que está sendo empurrada por uma força ao longo de um eixo , começando do repouso no ponto até . O gráfico dado mostra a aceleração em função de , com uma escala vertical de .
Conteúdo da matéria: Vamos usar conceitos de trabalho, energia e movimento com aceleração variável.
O que precisamos: Saber como calcular o trabalho realizado por uma força quando a aceleração varia com a posição e como determinar a velocidade da partícula em diferentes pontos.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como a aceleração varia com a partir do gráfico. A escala vertical é , então cada unidade no gráfico vertical representa .
Vamos supor que a aceleração seja uma função linear de , já que não temos o gráfico real. Por exemplo, se o gráfico for uma linha reta, podemos escrever , onde é uma constante a ser determinada.

Passo 3

Agora, para encontrar o trabalho realizado pela força W = integral0^x F , dx até cada ponto F = m cdot a(x) , usamos a definição de trabalho:
W = integral0^x m cdot a(x) , dx
Mas como não temos diretamente, vamos usar a segunda lei de Newton:
Substituindo na equação do trabalho:

Passo 4

Precisamos agora encontrar 6,0 = k cdot 9,0 implies k = 6,09,0 = 23 , m/s^2/m . Se assumirmos que , precisamos determinar . Supondo que no ponto a aceleração seja :
Então, .

Passo 5

Agora, substituímos W = integral0^x m cdot 23x , dx = m cdot 23 integral0^x x , dx na equação do trabalho:
integral0^x x , dx = x^22
Calculando a integral:
W = m cdot 23 cdot x^22 = m cdot x^23
Então,

Passo 6

Substituindo o valor da massa W = 2,00 cdot x^23 = 23x^2 , J :
Agora, vamos calcular o trabalho para cada ponto solicitado.

Passo 7

Para W = 23 cdot (4,0)^2 = 23 cdot 16 = 323 approx 10,67 , J :
W = 23 cdot (7,0)^2 = 23 cdot 49 = 983 approx 32,67 , J
Para W = 23 cdot (9,0)^2 = 23 cdot 81 = 54 , J :
Para :

Passo 8

Agora, vamos determinar a velocidade da partícula nos pontos W = De, v = raiz2Wm e .
Sabemos que o trabalho realizado é igual à variação da energia cinética:
Então,

Passo 9

Calculando a velocidade para cada ponto:
Para v = raiz2 cdot 10,672,00 = raiz21,342 = raiz10,67 approx 3,27 , m/s :
v = raiz2 cdot 32,672,00 = raiz65,342 = raiz32,67 approx 5,72 , m/s
Para v = raiz2 cdot 542,00 = raiz1082 = raiz54 approx 7,35 , m/s :
Para :

Resposta

(a) O trabalho realizado até é aproximadamente e a velocidade é .
(b) O trabalho realizado até é aproximadamente e a velocidade é .
© O trabalho realizado até é e a velocidade é .

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