A Fig. 3 mostra uma caixa de massa m2=1000 g em um plano sem atrito de inclinação theta= 30^circ. A caixa está ligada por um fio de massa desprezível a uma caixa de massa m1=3,0 kg em uma superfície horizontal sem atrito. A polia é sem atrito e sem massa. (b) Qual é o maior valor que F pode ter sem que o cordão afrouxe?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas caixas conectadas por um fio passando por uma polia sem atrito e sem massa. A caixa m2 = 1000 , g está em um plano inclinado de 30^circ sem atrito, e a outra caixa m1 = 3,0 , kg está em uma superfície horizontal também sem atrito. A pergunta é: qual é o maior valor que a força F pode ter sem que o cordão afrouxe?
Para resolver isso, vamos precisar entender as leis de Newton, especialmente como aplicar as equações de força em sistemas conectados. Vamos analisar as forças atuando em cada caixa e usar essas informações para encontrar o valor máximo de F que mantém o fio esticado.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI). A massa m2 está em gramas, então vamos converter para kg:
m2 = 1000 , g = 1,0 , kg
Agora temos:
  • m1 = 3,0 , kg
  • m2 = 1,0 , kg
  • theta = 30^circ

Passo 3

Vamos desenhar as forças atuando em cada caixa.
Para a caixa m1 (horizontal):
  • Força aplicada: F
  • Tensão no fio: T
  • Não há atrito, então a ��nica força horizontal é F - T.
Para a caixa m2 (inclinado):
  • Peso: m2 g atuando para baixo
  • Componentes do peso:
    • Paralelo ao plano: m2 g sin theta
    • Perpendicular ao plano: m2 g cos theta
  • Tensão no fio: T atuando para cima ao longo do plano
  • Não há atrito, então a única força paralela é T - m2 g sin theta.

Passo 4

Para que o cordão não afrouxe, a aceleração do sistema deve ser a mesma para ambas as massas e a tensão T deve ser maior ou igual a zero.
Aplicando a segunda lei de Newton para cada massa:
Para m1:
F - T = m1 a (1)
Para m2:
T - m2 g sin theta = m2 a (2)

Passo 5

Vamos resolver as equações (1) e (2) para encontrar F.
Primeiro, somamos as duas equações para eliminar T:
F - T + T - m2 g sin theta = m1 a + m2 a
Simplificando:
F - m2 g sin theta = (m1 + m2) a
Agora, precisamos encontrar a aceleração a. Para isso, usamos a equação (2):
T = m2 a + m2 g sin theta
Para que o fio não afrouxe, a tensão T deve ser pelo menos zero:
m2 a + m2 g sin theta >= 0
Isolando a:
a >= -g sin theta
Como a aceleração não pode ser negativa (ou seja, não queremos que o sistema desacelere de forma a afrouxar o fio), consideramos:
a >= 0

Passo 6

Voltando à equação que relaciona F e a:
F = (m1 + m2) a + m2 g sin theta
Para encontrar o valor máximo de F sem que o fio afrouxe, consideramos a aceleração máxima que o sistema pode ter sem que a tensão no fio seja negativa. Isso acontece quando a é tal que T = 0.
Então, colocando T = 0 na equação (2):
0 - m2 g sin theta = m2 a
a = -g sin theta
Mas já vimos que a aceleração deve ser pelo menos zero. Portanto, o valor máximo de F ocorre quando a = 0.

Passo 7

Substituindo a = 0 na equação para F:
F = (m1 + m2) cdot 0 + m2 g sin theta
F = m2 g sin theta
Agora, substituímos os valores:
  • m2 = 1,0 , kg
  • g = 9,8 , m/s^2
  • theta = 30^circ
F = 1,0 cdot 9,8 cdot sin 30^circ
Sabemos que sin 30^circ = 0,5, então:
F = 1,0 cdot 9,8 cdot 0,5
F = 4,9 , N

Resposta

O maior valor que F pode ter sem que o cordão afrouxe é 4,9 , N.

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