Na figura abaixo, os blocos de massas m1 e m2 são liberados a partir da posição indicada. Mostre que a velocidade dos blocos exatamente antes que m1 colida contra o chão é:
v=[2 gd(m1-m2)(m1+m2)]^1 / 2
Desprezar a massa e o atrito da polia.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois blocos com massas e que são soltos de uma certa altura . Queremos descobrir qual será a velocidade dos blocos exatamente antes de bater no chão. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática e dinâmica de sistemas com polia. Precisaremos aplicar as leis de Newton e a conservação da energia.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o sistema. Imagine que está pendurado de um lado da polia e do outro. Quando liberamos, começa a descer e sobe, ou vice-versa, dependendo das massas.

Passo 3

Como a polia é sem atrito e desprezamos sua massa, podemos dizer que a única força que age nos blocos é a força da gravidade. Para cada bloco, a força resultante será:
F1 = m1 cdot g - T
F2 = T - m2 cdot g
Aqui, é a tensão na corda.

Passo 4

Como os blocos estão conectados pela corda, a aceleração m1 cdot a = m1 cdot g - T de ambos é a mesma. Aplicando a segunda lei de Newton para cada bloco:
m2 cdot a = T - m2 cdot g

Passo 5

Vamos somar as duas equações para eliminar m1 cdot a + m2 cdot a = m1 cdot g - m2 cdot g :
(m1 + m2) cdot a = (m1 - m2) cdot g
Fatorando a = (m1 - m2) cdot gm1 + m2 :
Isolando :

Passo 6

Agora que temos a aceleração, vamos usar a equação da cinemática para encontrar a velocidade final v^2 = u^2 + 2 cdot a cdot d após o deslocamento v = raiz2 cdot a cdot d :
Como os blocos começam do repouso, :

Passo 7

Substituindo v = raiz2 cdot ( (m1 - m2) cdot gm1 + m2 ) cdot d na equação de v = raiz2 cdot g cdot d cdot (m1 - m2)m1 + m2 :
Simplificando:

Resposta

A velocidade dos blocos exatamente antes que v = raiz2 cdot g cdot d cdot (m1 - m2)m1 + m2 colida contra o chão é:

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