O sistema apresentado é composto de duas esferas de massa m e 2 m unidas por uma barra imponderável de comprimento 2 L que pode rodar em torno do seu centro O, num plano vertical. Se o sistema for deixado livre quando disposto verticalmente, qual será a velocidade máxima atingida esferas?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema com duas esferas: uma de massa
e outra de massa
, conectadas por uma barra sem peso com comprimento total de
. Essa barra pode girar em torno do seu centro
em um plano vertical. Quando o sistema é solto da posição vertical, queremos descobrir qual será a velocidade máxima atingida pelas esferas. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de energia potencial gravitacional e energia cinética rotacional.
Passo 2
Vamos começar calculando a energia potencial inicial do sistema quando está na posição vertical. A energia potencial (
) de uma massa em relação a um ponto de referência é dada por:
onde:
-
é a massa, -
é a aceleração da gravidade, -
é a altura em relação ao ponto de referência.
No início, quando o sistema está totalmente vertical, as alturas das duas esferas em relação ao centro
são
para a massa
e
para a massa
. Assim, a energia potencial total inicial (
) é:
Passo 3
Quando o sistema gira, a energia potencial é convertida em energia cinética rotacional (
). A energia cinética rotacional é dada por:
onde:
-
é o momento de inércia do sistema, -
é a velocidade angular.
Vamos calcular o momento de inércia (
) do sistema em relação ao centro
. Para cada esfera, o momento de inércia é:
onde
é a distância do centro
até a massa. Então, para as duas esferas:
Passo 4
Aplicando o princípio de conservação de energia, a energia potencial inicial será igual à energia cinética rotacional no ponto onde a velocidade é máxima:
Substituindo as expressões que encontramos:
Podemos simplificar cancelando
dos dois lados:
Resolvendo para
:
Passo 5
Agora, queremos encontrar a velocidade máxima (
) de cada esfera. A velocidade linear está relacionada à velocidade angular pela relação:
Para a massa
, a distância do centro é
, então:
Resposta
A velocidade máxima atingida pelas esferas é
.