O sistema apresentado é composto de duas esferas de massa m e 2 m unidas por uma barra imponderável de comprimento 2 L que pode rodar em torno do seu centro O, num plano vertical. Se o sistema for deixado livre quando disposto verticalmente, qual será a velocidade máxima atingida esferas?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema com duas esferas: uma de massa e outra de massa , conectadas por uma barra sem peso com comprimento total de . Essa barra pode girar em torno do seu centro em um plano vertical. Quando o sistema é solto da posição vertical, queremos descobrir qual será a velocidade máxima atingida pelas esferas. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de energia potencial gravitacional e energia cinética rotacional.

Passo 2

Vamos começar calculando a energia potencial inicial do sistema quando está na posição vertical. A energia potencial ( U = m cdot g cdot h ) de uma massa em relação a um ponto de referência é dada por:
Ui = m cdot g cdot L + 2m cdot g cdot L = 3m cdot g cdot L
onde:
  • é a massa,
  • é a aceleração da gravidade,
  • é a altura em relação ao ponto de referência.
No início, quando o sistema está totalmente vertical, as alturas das duas esferas em relação ao centro são para a massa e para a massa . Assim, a energia potencial total inicial ( ) é:

Passo 3

Quando o sistema gira, a energia potencial é convertida em energia cinética rotacional ( K = 12 I cdot omega^2 ). A energia cinética rotacional é dada por:
I = m cdot r^2
onde:
  • Itotal = m cdot L^2 + 2m cdot L^2 = 3m cdot L^2 é o momento de inércia do sistema,
  • é a velocidade angular.
Vamos calcular o momento de inércia ( ) do sistema em relação ao centro . Para cada esfera, o momento de inércia é:
onde é a distância do centro até a massa. Então, para as duas esferas:

Passo 4

Aplicando o princípio de conservação de energia, a energia potencial inicial será igual à energia cinética rotacional no ponto onde a velocidade é máxima:
Ui = K
Substituindo as expressões que encontramos:
3m cdot g cdot L = 12 cdot 3m cdot L^2 cdot omega^2
Podemos simplificar cancelando g = 12 cdot L cdot omega^2 dos dois lados:
omega^2 = 2gL implies omega = raiz2gL
Resolvendo para :

Passo 5

Agora, queremos encontrar a velocidade máxima ( v = omega cdot r á) de cada esfera. A velocidade linear está relacionada à velocidade angular pela relação:
vmáx = omega cdot L = raiz2gL cdot L = raiz2gL
Para a massa , a distância do centro é , então:
á

Resposta

A velocidade máxima atingida pelas esferas é á.

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