Na Figura abaixo, uma criança de 36 kg está correndo em direção a borda de um carrossel estacionário de raio
. O momento de inércia do carrossel em relação ao eixo de rotação é
. A criança pula e se agarra ao carrossel. Imediatamente antes de se agarrar ao carrossel, a criança tem uma velocidade
, de módulo
, na direção tangencial à borda do carrossel, como mostra a figura. Qual é a velocidade angular do carrossel imediatamente após a criança se agarrar ao carrossel?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma criança de 36 kg correndo em direção a uma borda de um carrossel parado com raio de 2,8 metros. O momento de inércia do carrossel é 145 kg·m². A criança está se movendo tangencialmente com uma velocidade de 25 m/s antes de se agarrar ao carrossel. Nosso objetivo é descobrir qual será a velocidade angular do carrossel imediatamente após a criança se agarrar a ele. Vamos precisar usar conceitos de momento de inércia e momento angular, além da conservação do momento angular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é momento de inércia. Ele é uma medida de quanta resistência um objeto oferece à mudança em seu estado de rotação. Quanto maior o momento de inércia, mais difícil é mudar a velocidade de rotação do objeto.
Agora, o momento angular é a quantidade de rotação que um objeto tem, levando em consideração sua velocidade e distribuição de massa. Quando não há torque externo agindo no sistema, o momento angular total é conservado.
Passo 3
Antes da criança se agarrar ao carrossel, apenas ela está se movendo. O momento angular inicial da criança em relação ao eixo de rotação do carrossel é dado por:
onde:
-
(massa da criança) -
(velocidade tangencial da criança) -
(raio do carrossel)
Passo 4
O carrossel está inicialmente parado, então seu momento angular inicial é zero.
Após a criança se agarrar ao carrossel, ambos passam a girar juntos com uma velocidade angular
. O momento de inércia total do sistema (carrossel + criança) é:
onde:
Passo 5
Aplicando a conservação do momento angular:
Resolvendo para
:
Passo 6
Vamos substituir os valores na fórmula:
Primeiro, calculamos o denominador:
Então:
Resposta
A velocidade angular do carrossel imediatamente após a criança se agarrar a ele é aproximadamente 5,89 rad/s.