Na Figura abaixo, uma criança de 36 kg está correndo em direção a borda de um carrossel estacionário de raio R=2,8 m. O momento de inércia do carrossel em relação ao eixo de rotação é 145 kg m^2. A criança pula e se agarra ao carrossel. Imediatamente antes de se agarrar ao carrossel, a criança tem uma velocidade v, de módulo 25 m / s, na direção tangencial à borda do carrossel, como mostra a figura. Qual é a velocidade angular do carrossel imediatamente após a criança se agarrar ao carrossel?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma criança de 36 kg correndo em direção a uma borda de um carrossel parado com raio de 2,8 metros. O momento de inércia do carrossel é 145 kg·m². A criança está se movendo tangencialmente com uma velocidade de 25 m/s antes de se agarrar ao carrossel. Nosso objetivo é descobrir qual será a velocidade angular do carrossel imediatamente após a criança se agarrar a ele. Vamos precisar usar conceitos de momento de inércia e momento angular, além da conservação do momento angular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é momento de inércia. Ele é uma medida de quanta resistência um objeto oferece à mudança em seu estado de rotação. Quanto maior o momento de inércia, mais difícil é mudar a velocidade de rotação do objeto.
Agora, o momento angular é a quantidade de rotação que um objeto tem, levando em consideração sua velocidade e distribuição de massa. Quando não há torque externo agindo no sistema, o momento angular total é conservado.

Passo 3

Antes da criança se agarrar ao carrossel, apenas ela está se movendo. O momento angular inicial da criança em relação ao eixo de rotação do carrossel é dado por:
Linicial = m cdot v cdot R
onde:
  • (massa da criança)
  • (velocidade tangencial da criança)
  • (raio do carrossel)

Passo 4

O carrossel está inicialmente parado, então seu momento angular inicial é zero.
Após a criança se agarrar ao carrossel, ambos passam a girar juntos com uma velocidade angular Itotal = Icarrossel + m cdot R^2 . O momento de inércia total do sistema (carrossel + criança) é:
onde:

Passo 5

Aplicando a conservação do momento angular:
Linicial = Lfinal
m cdot v cdot R = (Icarrossel + m cdot R^2) cdot omega
Resolvendo para omega = m cdot v cdot RIcarrossel + m cdot R^2 :

Passo 6

Vamos substituir os valores na fórmula:
omega = 36 cdot 25 cdot 2,8145 + 36 cdot (2,8)^2
Primeiro, calculamos o denominador:
36 cdot (2,8)^2 = 36 cdot 7,84 = 282,24
Então:
omega = 36 cdot 25 cdot 2,8145 + 282,24
omega = 2520427,24
omega approx 5,89 , rad/s

Resposta

A velocidade angular do carrossel imediatamente após a criança se agarrar a ele é aproximadamente 5,89 rad/s.

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