(a) Use os componentes de vetores para provar que dois vetores são comutativos tanto para soma quanto para o produto escalar. (b) Prove que os dois vetores são anticomutativos para o produto vetorial; ou seja, prove que A times B=-B times A.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores e precisa mostrar algumas propriedades sobre eles usando componentes vetoriais. No item (a), vamos provar que a soma e o produto escalar de dois vetores são comutativos, ou seja, a ordem não importa. No item (b), vamos mostrar que o produto vetorial é anticomutativo, ou seja, muda de sinal quando trocamos a ordem dos vetores. Para isso, vamos precisar lembrar como somar vetores, calcular o produto escalar e o produto vetorial usando suas componentes.

Passo 2

Primeiro, vamos provar que a soma de dois vetores é comutativa. Vamos considerar dois vetores quaisquer, A = (Ax, Ay, Az) e B = (Bx, By, Bz). A soma deles é dada por:
A + B = (Ax + Bx, Ay + By, Az + Bz)
Agora, se trocar a ordem:
B + A = (Bx + Ax, By + Ay, Bz + Az)
Como a adição de números reais é comutativa ( Ax + Bx = Bx + Ax etc.), temos que:
A + B = B + A
Então, a soma de vetores é comutativa.

Passo 3

Agora, vamos mostrar que o produto escalar também é comutativo. O produto escalar de A e B é calculado assim:
A cdot B = Ax Bx + Ay By + Az Bz
Se trocarmos a ordem:
B cdot A = Bx Ax + By Ay + Bz Az
Novamente, como a multiplicação de números reais é comutativa ( Ax Bx = Bx Ax etc.), temos:
A cdot B = B cdot A
Portanto, o produto escalar é comutativo.

Passo 4

Agora vamos para o item (b), que trata do produto vetorial. Queremos provar que:
A times B = -B times A
Vamos calcular A times B usando a regra do determinante:
A times B = i & j & k Ax & Ay & Az Bx & By & Bz
Expandindo o determinante, temos:
A times B = (Ay Bz - Az By)i - (Ax Bz - Az Bx)j + (Ax By - Ay Bx)k
Agora, vamos calcular B times A:
B times A = i & j & k Bx & By & Bz Ax & Ay & Az
Expandindo:
B times A = (By Az - Bz Ay)i - (Bx Az - Bz Ax)j + (Bx Ay - By Ax)k
Perceba que cada componente de B times A é o negativo correspondente de A times B:
B times A = -[(Ay Bz - Az By)i - (Ax Bz - Az Bx)j + (Ax By - Ay Bx)k] = -A times B

Resposta

(a) A soma e o produto escalar de dois vetores são comutativos.
(b) O produto vetorial de dois vetores é anticomutativo: A times B = -B times A.

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