(a) Use os componentes de vetores para provar que dois vetores são comutativos tanto para soma quanto para o produto escalar. (b) Prove que os dois vetores são anticomutativos para o produto vetorial; ou seja, prove que .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores e precisa mostrar algumas propriedades sobre eles usando componentes vetoriais. No item (a), vamos provar que a soma e o produto escalar de dois vetores são comutativos, ou seja, a ordem não importa. No item (b), vamos mostrar que o produto vetorial é anticomutativo, ou seja, muda de sinal quando trocamos a ordem dos vetores. Para isso, vamos precisar lembrar como somar vetores, calcular o produto escalar e o produto vetorial usando suas componentes.
Passo 2
Primeiro, vamos provar que a soma de dois vetores é comutativa. Vamos considerar dois vetores quaisquer, e . A soma deles é dada por:
Agora, se trocar a ordem:
Como a adição de números reais é comutativa ( etc.), temos que:
Então, a soma de vetores é comutativa.
Passo 3
Agora, vamos mostrar que o produto escalar também é comutativo. O produto escalar de e é calculado assim:
Se trocarmos a ordem:
Novamente, como a multiplicação de números reais é comutativa ( etc.), temos:
Portanto, o produto escalar é comutativo.
Passo 4
Agora vamos para o item (b), que trata do produto vetorial. Queremos provar que:
Vamos calcular usando a regra do determinante:
Expandindo o determinante, temos:
Agora, vamos calcular :
Expandindo:
Perceba que cada componente de é o negativo correspondente de :
Resposta
(a) A soma e o produto escalar de dois vetores são comutativos.
(b) O produto vetorial de dois vetores é anticomutativo: .